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La magia matematica dietro le macchine a vettori di supporto: come guardarle da una prospettiva bayesiana?
All'interno del quadro statistico bayesiano dell'apprendimento automatico, i metodi kernel nascono da presupposti sullo spazio del prodotto interno o sulla struttura di somiglianza dell'input. La formazione originale e la regolarizzazione di alcuni metodi come le macchine a vettori di supporto (SVM) non sono l'essenza del bayesiano, quindi comprendere questi metodi da una prospettiva bayesiana sarà di grande aiuto per il nostro apprendimento.
Molti metodi del kernel vengono utilizzati per problemi di apprendimento supervisionato, in cui lo spazio di input è solitamente uno spazio vettoriale e lo spazio di output è uno scalare. Recentemente, questi metodi sono stati estesi per gestire problemi con output multipli, come l’apprendimento multi-task.
Il processo di apprendimento delle macchine a vettori di supporto nasconde in realtà profonde connotazioni matematiche. Questo non è solo un problema tecnico, ma anche una sfida interessante su come gestire l'incertezza. L'eleganza delle macchine a vettori di supporto risiede nella loro capacità di selezionare automaticamente le caratteristiche più informative pur rimanendo efficienti dal punto di vista computazionale. Man mano che la nostra comprensione delle macchine a vettori di supporto aumenta, potremmo anche chiederci: in che modo questa magia matematica cambia la nostra comprensione dell'apprendimento automatico?
Concetti di base dei problemi di apprendimento supervisionato
I tradizionali problemi di apprendimento supervisionato richiedono l'apprendimento di uno stimatore a valori scalari basato su un set di addestramento per prevedere l'output di un nuovo punto di input. Queste coppie input-output vengono formate in un set di addestramento, chiamato S, che consiste di n coppie input-output. In effetti, il nostro obiettivo è creare una funzione di stima che preveda bene l'output di questi punti di input.
In questo processo, una funzione binaria simmetrica e positiva è chiamata kernel. Per uno stimatore molto importante nell'apprendimento automatico, la generazione della matrice del kernel è cruciale.
Prospettiva della formalizzazione
Nella prospettiva della regolarizzazione, l'assunzione principale è che l'insieme delle funzioni F appartenga ad un kernel rinato nello spazio di Hilbert Hk. Questo quadro ci consente di modellare il problema da molteplici aspetti e migliorare le prestazioni predittive del modello incorporando efficacemente le funzioni stabilite nel processo di apprendimento ausiliario.
Reborn Kernel Hilbert Space (RKHS) è un insieme di funzioni basate su funzioni definite simmetriche e positive, che ha alcune proprietà interessanti, inclusa la capacità di generare la minimizzazione energetica delle funzioni.
Ciò si basa su due vincoli fondamentali: in primo luogo, il controllo del kernel per garantire l'affidabilità della previsione e, in secondo luogo, la regolarizzazione per ottenere una capacità di previsione bilanciata e la complessità del modello. In questo momento il ruolo del regolarizzatore diventa particolarmente importante: è responsabile del controllo della complessità della funzione, fondamentale per evitare l’overfitting.
Derivati degli stimatori
Introducendo la correlazione dello spazio di Hilbert del kernel rigenerato, possiamo capire come viene derivato lo stimatore della macchina vettoriale di supporto. Ciò si basa su una teoria chiave: il teorema dell'esecutore, che afferma che la soluzione ottimale può essere espressa come una combinazione lineare di nuclei nel set di addestramento. Tale conclusione non solo fornisce supporto teorico, ma rende anche pratico questo metodo.
Possiamo esprimere questa funzione come una combinazione lineare di funzioni del kernel nel set di addestramento e ottenere il miglior effetto di previsione minimizzando il valore effettivo.
Connessione delle prospettive bayesiane
Da una prospettiva bayesiana, il metodo del kernel è il componente principale del processo gaussiano e la funzione del kernel è anche chiamata funzione di covarianza. Attraverso questa comprensione, possiamo anche rivelare l’equivalenza matematica tra il metodo di regolarizzazione e la prospettiva bayesiana. In molti casi, i predittori forniti sono essenzialmente gli stessi, offrendo l’opportunità di esplorare le correlazioni tra modelli diversi.
In termini di comprensione delle macchine a vettori di supporto, questa versatilità immediata in vari modelli le rende una scelta estremamente interessante, influenzando lo sviluppo dell'apprendimento automatico di oggi in modo più ampio. Attraverso l'analisi approfondita delle strutture matematiche in questo articolo, forse non possiamo fare a meno di pensare a come la futura analisi dei dati continuerà ad evolversi per adattarsi alla crescente complessità e alle esigenze?
Il fascino della matematica risiede nelle sue profonde capacità logiche ed espressive, soprattutto nel campo dell'apprendimento automatico. Come possiamo continuare a sfruttare il loro potenziale?
