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Il miracolo del flusso senza vortici: come può il flusso potenziale aiutarci a comprendere la dinamica dei fluidi?
Nella meccanica dei fluidi, il flusso potenziale (o flusso irrotazionale) è un modo per descrivere il flusso del fluido, caratterizzato dal fatto che il fluido non contiene vorticità. Questa descrizione avviene solitamente nel limite di viscosità nulla, cioè nel caso di fluidi non viscosi, dove non c'è vorticità nel flusso. Il campo di velocità di un flusso potenziale può essere espresso come il gradiente di una funzione scalare chiamata potenziale di velocità. Da ciò, il flusso sottostante è caratterizzato dall'avere un campo di velocità privo di rotazione, che rappresenta un'approssimazione ragionevole in diverse applicazioni. La proprietà di irrotazione del flusso sottostante deriva dal fatto che l'arricciatura del gradiente di una quantità scalare è sempre uguale a zero.
"Nel flusso irrotazionale, il campo vettoriale della vorticità è zero."
Nei flussi incomprimibili, il potenziale di velocità soddisfa l'equazione di Laplace, che consente di applicare la teoria sottostante. Tuttavia, i flussi latenti possono essere utilizzati anche per descrivere flussi comprimibili e flussi di Hele-Shaw. Il modello del flusso latente è applicabile sia a condizioni di flusso statiche che non statiche. Il campo di applicazione del flusso potenziale è molto ampio e comprende il campo di flusso attorno all'ala aerodinamica, le onde dell'oceano, il flusso dell'acqua e il flusso elettroosmotico.
Nonostante i vantaggi del flusso potenziale, le stime del flusso potenziale non sono applicabili quando il flusso (o parte di esso) contiene forti effetti di vorticità. In quelle regioni di flusso in cui è noto che la vorticità è importante, come le scie e gli strati limite, la teoria del flusso latente non può fornire previsioni ragionevoli del flusso. Fortunatamente, tuttavia, si può presumere che alcune grandi regioni del flusso siano prive di rotazione, motivo per cui i flussi latenti sono così ampiamente utilizzati. Ad esempio, l’ipotesi del flusso potenziale è valida nel caso dei flussi intorno agli aerei, del flusso delle acque sotterranee, dell’acustica e delle onde dell’acqua.
"La caratteristica del flusso potenziale è la sua non rotazione, che lo rende computazionalmente più semplice."
Descrizione e caratteristiche dei flussi potenziali
Nel flusso potenziale o nel flusso non rotante, il campo vettoriale della vorticità è zero, cioè ω ≡ ∇ × v = 0, dove v(x, t) è il campo di velocità e ω(x, t) è il campo di vorticità. Qualsiasi campo vettoriale con rotore zero può essere espresso come il gradiente di una funzione scalare, come φ(x, t), chiamata potenziale di velocità. Dato che l'arricciatura del gradiente è sempre zero, otteniamo v = ∇φ. Il potenziale di velocità non è unico, poiché una funzione temporale arbitraria f(t) può essere collegata al potenziale di velocità senza influenzare la quantità fisica associata v.
Le proprietà del flusso potenziale sono tali che il ciclo Γ attorno a qualsiasi contorno semplice connesso C è zero. Ciò può essere dimostrato dal teorema di Stokes: Γ ≡ ∮C v · dl = ∫ω · df = 0, dove dl è l'elemento lineare sul contorno e df è l'elemento superficiale su qualsiasi superficie racchiusa dal contorno.
In spazi multi-connessi (ad esempio, attorno al contorno di un oggetto solido o un contorno a forma di anello in tre dimensioni), o in presenza di vorticità concentrata (ad esempio, i cosiddetti vortici irrotazionali o puntiformi, o nel fumo anelli ), non è necessario che il ciclo Γ sia zero. Quando si circonda un contorno attorno a un cilindro solido autoallungante, Γ = Nκ, dove κ è la costante ciclica, questo esempio appartiene a uno spazio biconnesso.
Stream incomprimibile
Nel caso di un flusso incomprimibile, come un liquido o un gas con un basso numero di Mach, la velocità v ha un grado di divergenza, cioè ∇ · v = 0. A questo punto, assumendo v = ∇φ, allora φ soddisfa l'equazione di Laplace ∇²φ = 0. Poiché le soluzioni dell'equazione di Laplace sono funzioni armoniche, ciascuna funzione armonica rappresenta una potenziale soluzione di flusso.
"In un flusso incomprimibile, il flusso potenziale è completamente determinato dalla sua cinematica."
Il flusso potenziale soddisfa effettivamente l'intera equazione di Navier-Stokes, non solo l'equazione di Eulero, perché il termine di viscosità è sempre uguale a zero. I fattori che fanno sì che un flusso potenziale non soddisfi le condizioni al contorno necessarie, specialmente vicino a confini solidi, lo rendono inefficace per rappresentare il campo di flusso desiderato. Se il flusso potenziale soddisfa le condizioni richieste, allora può essere una soluzione alle equazioni incomprimibili di Navier-Stokes.
Quindi, quando il flusso potenziale ci consente di riesaminare la comprensione di base della meccanica dei fluidi, può portare nuove idee e illuminazione?
