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Il mistero della regressione multipla: perché stimare diverse equazioni contemporaneamente migliora l'efficienza?
Nel campo dell'econometria, il modello di regressione apparentemente non correlato (SUR) fu proposto da Arnold Zellner nel 1962 come estensione del modello di regressione lineare. Il modello contiene equazioni di regressione multiple, ciascuna con la propria variabile dipendente indipendente e possibilmente diverse variabili esplicative esogene. Sebbene la progettazione di queste equazioni sembri non essere correlata tra loro, in realtà i loro termini di errore sono correlati tra loro, il che ha suscitato grande interesse tra gli econometristi.
Secondo le ipotesi del modello SUR, i termini di errore sono indipendenti tra le osservazioni, ma i termini di errore all'interno della stessa osservazione possono essere correlati tra le equazioni.
Secondo la teoria di Zerná, ciascuna equazione nel modello SUR può essere stimata in modo indipendente, solitamente utilizzando il metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS). Tuttavia, questo approccio non è generalmente efficiente quanto il metodo SUR, che utilizza una matrice di varianza-covarianza specifica e minimi quadrati generalizzati fattibili (FGLS) per la stima.
Nella maggior parte dei casi, il metodo SUR può migliorare efficacemente l'accuratezza della stima, soprattutto quando esiste una correlazione tra i termini di errore. Ciò consente al modello SUR di riflettere meglio le situazioni del mondo reale, poiché in molti problemi economici le variabili si influenzano a vicenda e questa relazione di influenza spesso emerge nel tempo.
Quando la matrice di covarianza dei termini di errore è una matrice diagonale nota, i risultati della stima SUR sono gli stessi della stima OLS equazione per equazione.
Ciò significa che, in alcuni casi specifici, una regressione separata che utilizza OLS può fornire gli stessi risultati di SUR. Ad esempio, quando le variabili esplicative di ciascuna equazione sono esattamente le stesse, la stima del modello SUR e i risultati dell'OLS saranno altamente coerenti.
Inoltre, l'applicazione dei modelli SUR non si limita a poche equazioni, ma si estende anche a sistemi più complessi, come i modelli a equazioni simultanee. In questi casi, le variabili esplicative sul lato destro dell'equazione possono anche essere variabili endogene, il che ha stimolato un ulteriore sviluppo delle tecniche econometriche.
Tecniche di stima efficaci
I modelli SUR vengono solitamente stimati utilizzando il metodo dei minimi quadrati generalizzati fattibili (FGLS), che è un approccio in due fasi. Per prima cosa eseguiamo la regressione utilizzando i minimi quadrati ordinari e i residui ottenuti vengono utilizzati per stimare gli elementi della matrice di covarianza. Nel secondo passaggio utilizziamo la matrice della varianza per eseguire una stima generalizzata dei minimi quadrati, che può migliorare in modo efficace l'accuratezza della stima.
Oltre al metodo FGLS, sono disponibili numerose altre tecniche di stima, tra cui la stima di massima verosimiglianza (ML), nonché i minimi quadrati generalizzati iterativi (IGLS) e i minimi quadrati ordinari iterativi (IOLS). Ciascuno di questi metodi presenta vantaggi e svantaggi, ma gli studi hanno dimostrato che tendono a produrre risultati numericamente equivalenti, consentendo ai ricercatori di scegliere la tecnica appropriata in base alle loro effettive esigenze.
Applicazioni dell'econometria
Con lo sviluppo dell'econometria, il modello SUR viene incorporato in sempre più software statistici. Ad esempio, nel linguaggio R, il pacchetto “systemfit” può essere utilizzato per stimare il modello SUR; in Stata, i comandi “sureg” e “suest” possono essere utilizzati per completare la stima corrispondente.
Lo sviluppo di questa serie di tecnologie ha notevolmente arricchito gli strumenti econometrici, consentendo ai ricercatori di fornire analisi e previsioni più accurate quando si trovano ad affrontare problemi economici complessi.
In sintesi, la potenza del modello SUR risiede nella sua capacità di considerare appieno le possibili interazioni tra diverse equazioni di regressione, il che ci offre un vantaggio nell'affrontare problemi multivariati. Ma questo significa che utilizzare SUR è la soluzione migliore in tutti i casi?
