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Il segreto delle combinazioni lineari: come determinare se i vettori sono indipendenti?
Nella teoria dello spazio vettoriale, un insieme di vettori è detto "linearmente indipendente" se nessuna combinazione lineare non banale può eguagliare il vettore zero. Al contrario, se esiste una tale combinazione lineare, questo insieme di vettori è chiamato "dipendenza lineare". Questi concetti giocano un ruolo importante nella definizione di dimensionalità, poiché la dimensionalità di uno spazio vettoriale può essere determinata dal suo numero massimo di vettori linearmente indipendenti.
Se almeno un vettore in un insieme di vettori può essere espresso come una combinazione lineare di altri vettori, allora questo insieme di vettori deve essere linearmente dipendente.
Nello specifico, supponiamo che una serie di vettori v1, v2, ..., vk provenga dallo spazio vettoriale V. Questo insieme di vettori chiamati dipendenza lineare. Quando ci sono scalari a1, a2, ..., ak che non sono tutti zero, tali che
a1v1 + a2v2 + ... + ak Ciò vale quando vk = 0. In altre parole, se uno scalare è diverso da zero, ne consegue che almeno un vettore può essere rappresentato da una combinazione lineare di altri vettori. Al contrario, se l’unica soluzione è che tutti gli scalari siano zero, allora l’insieme dei vettori è linearmente indipendente.
Nel caso di dimensioni infinite, purché diversi sottoinsiemi finiti non vuoti siano linearmente indipendenti, questo insieme di vettori è un insieme linearmente indipendente.
Inoltre, nel caso di due vettori: se e solo se un vettore è multiplo scalare dell'altro vettore, i due vettori sono linearmente dipendenti. Se due vettori sono indipendenti non possono essere multipli scalari l’uno dell’altro. Più specificamente, se un vettore è un vettore zero, allora l'insieme dei vettori deve essere linearmente dipendente, poiché il vettore zero può essere formato da qualsiasi combinazione lineare di vettori.
Il vettore zero non può apparire in nessun insieme di vettori linearmente indipendenti.
Per spiegarlo con un esempio geometrico: consideriamo i vettori u e v, che se indipendenti definiscono un piano. Tuttavia, se il terzo vettore w si trova sullo stesso piano di u e v, allora i tre vettori mostrano una dipendenza lineare. Ciò significa che non è necessario che tutti e tre i vettori descrivano il piano, poiché solo u e v lo faranno. Se deduciamo questo, n vettori linearmente indipendenti nello spazio n dimensionale possono definire univocamente un punto nello spazio.
Valutare l'indipendenza lineare dei vettori non è sempre intuitivo. Ad esempio, nella geolocalizzazione, se una persona chiede le coordinate di un luogo, si può dire "Si trova tre miglia a nord e quattro miglia a est di qui". Il vettore "nord" qui è linearmente indipendente dal vettore "est", e il vettore di cinque miglia "nordest" formato dal vettore di tre miglia "nord" e dal vettore di quattro miglia "est" è una combinazione lineare del primi due vettori. Ciò lo rende ridondante.
Come valutare l'indipendenza di un insieme di vettori è un problema sempre impegnativo. Esaminando le combinazioni lineari e i loro componenti uno per uno, la relazione tra loro può essere giudicata più chiaramente. Ma esiste un modo più semplice o intuitivo per comprendere e valutare l’indipendenza lineare dei vettori?
