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Che cos'è il design a blocchi? Qual è il suo ruolo misterioso in matematica?
Nella progettazione combinatoria matematica, la progettazione a blocchi è una struttura di incidenza che include un insieme e i suoi sottoinsiemi (chiamati blocchi). La selezione di questi sottoinsiemi soddisfa determinate condizioni affinché l'intero insieme di blocchi si comporti in modo simmetrico ed equilibrato. La progettazione a blocchi ha una vasta gamma di applicazioni, tra cui progettazione sperimentale, geometria finita, chimica fisica, test di software, crittografia, geometria algebrica e altri campi. In generale, il design a blocchi menzionato si riferisce solitamente al design a blocchi incompleti bilanciati (BIBD), che è un design speciale 2 che è stato storicamente il tipo più studiato e viene utilizzato principalmente nei progetti sperimentali.
La progettazione dei blocchi mostra la combinazione e la disposizione degli elementi, svelando molti aspetti misteriosi della matematica.
Concetti di base della progettazione a blocchi
Matematicamente, se un progetto è bilanciato (fino a t), significa che tutti i sottoinsiemi t dell'insieme originale si trovano in un numero uguale di blocchi. Quando t non è specificato, di solito si presuppone che t=2, il che significa che ciascuna coppia di elementi è presente nello stesso numero di blocchi e che il progetto è bilanciato a coppie. Per t=1, ogni elemento appare nello stesso numero di blocchi (questo è chiamato numero di ripetizioni) e questo disegno è chiamato disegno regolare. Inoltre, un disegno in cui tutti i blocchi hanno la stessa dimensione viene detto uniforme o corretto. I progetti discussi in questo articolo sono tutti uniformi e la base del progetto a blocchi non è uniforme, quindi sono chiamati progetti bilanciati a coppie (PBD).
Design uniforme regolare
Il disegno "bilanciato" più elementare (t=1) è chiamato configurazione tattica o disegno 1. In geometria, le strutture di incidenza corrispondenti sono chiamate configurazioni. Questo disegno è uniforme e regolare: ogni blocco contiene k elementi e ogni elemento è contenuto in r blocchi. Esiste una relazione tra il numero v di elementi nel disegno e il numero di blocchi b, il numero totale di occorrenze dell'elemento, come bk = vr. Ogni matrice binaria con somme di righe e colonne costanti è una matrice di incidenza con struttura a blocchi regolare e uniforme.
Design uniforme bilanciato accoppiato (2 Design o BIBD)
Dato un blocco di insiemi finiti. In questo progetto, qualsiasi x in X è contenuto in r blocchi, e anche due punti distinti x e y in X sono contenuti in λ blocchi. La condizione qui significa che non è necessario che alcun x sia contenuto in r blocchi di X, come si può vedere dalla derivazione precedente. Possiamo chiamare questo design un design (v, k, λ) o un design (v, b, r, k, λ).
A causa dell'esistenza di un equilibrio imperfetto, la progettazione a blocchi mostra il mistero e la bellezza della matematica combinatoria.
Progettazione di simmetria 2 (SBIBD)
In tutti e 2 i progetti, quando il numero di blocchi e punti è uguale, il progetto viene definito simmetrico. Questo tipo di progettazione soddisfa i requisiti degli altri 2 progetti con il numero minimo di blocchi e, nella progettazione simmetrica, r=k e b=v. Tra questi, due blocchi diversi si intersecano nel punto λ. Il teorema di Ryser fornisce le condizioni per un progetto simmetrico.
Esempi e applicazioni
Un design unico (6,3,2) ha 10 blocchi e ogni elemento viene ripetuto 5 volte. Rappresentati utilizzando la notazione 0-5, questi blocchi sono la seguente tripletta: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. La matrice di incidenza corrispondente è una matrice binaria con v×b. Gli esempi di progetti a blocchi sono ricchi e vari e spaziano dalla matematica alle applicazioni pratiche.
Quindi, lo sviluppo e l'applicazione della progettazione a blocchi possono fornirci nuovi modi di pensare nei sistemi complessi?
