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グラフ内の隠れたパス: 一意のハミルトンパスを見つけるにはどうすればよいでしょうか?
グラフ理論の数学の分野において、ハミルトン経路 (または追跡可能な経路) は、無向グラフまたは有向グラフ内の各頂点を 1 回だけ訪れる経路です。ハミルトン閉路 (またはハミルトン回路) は、各頂点を正確に 1 回訪れる循環パスです。したがって、ハミルトン経路をめぐる議論は数学愛好家にとって謎であるだけでなく、情報科学や計算理論においても重要なトピックである。なぜなら、そのような経路やサイクルの存在を決定する問題はNP完全問題であり、つまりつまり、合理的な時間内に解決することができないのです。
ハミルトン経路とサイクルは、ロボットナビゲーション、輸送問題、回路設計などの実際のアプリケーションでの重要性により、幅広い注目を集めています。
ハミルトン経路は、十二面体のエッジ グラフでハミルトン サイクルを見つけるための「イコシアン ゲーム」(現在はハミルトン パズルと呼ばれています) を発明したウィリアム ローワン ハミルトンにちなんで名付けられました。質問。ハミルトンは二十面体計算を使ってこの問題を解決しましたが、この解決法は任意のグラフの場合に一般化することはできません。実際、彼の研究よりずっと前から、多くの数学者が多面体におけるハミルトン閉路の特性を研究していました。
ハミルトン経路を含むグラフは追跡可能なグラフと呼ばれます。すべての点のペアを通るハミルトン経路がある場合、そのグラフはハミルトン連結グラフと呼ばれます。ただし、ハミルトン閉路によって形成できるループは、隣接する頂点間にのみ拡張できます。
完全グラフ（頂点が 2 つ以上）は、必ずハミルトン閉路を含むグラフです。すべての回路図もハミルトンです。
ハミルトン閉路を持つグラフは一般にハミルトングラフと呼ばれ、任意のハミルトン閉路はエッジを削除することでハミルトンパスに変換できます。しかし、すべての二重連結グラフがハミルトングラフであるとは保証されません。ハミルトン経路の研究は 18 世紀から一般的であり、インドの数学の初期の時代にまで遡ることができます。
たとえば、チェス盤上のナイト図では、ナイトの巡回の問題は 9 世紀にはすでにインドの数学で議論されていました。時が経つにつれ、この概念はヨーロッパでさらに発展し、アブラハム・ド・モアブルとレオンハルト・オイラーの両者が騎士の巡回について議論しました。問題。
ハミルトン閉路の多様性により、数学者はグラフ密度、強靭性、禁制部分グラフなどの特性についてより詳細な研究を実施できるようになりました。
現在の研究では、ボンディ・クヴァータル定理はハミルトングラフに関して最適な頂点次数特性を提供し、これによりほとんどのハミルトン性の決定を迅速に実行できるようになります。これらの理論はランダムな判断に限定されるものではなく、さまざまなグラフの構造や特性とも密接に関係しており、異なる特性を持つグラフでどのような接続性がハミルトン経路や回路の確立を達成できるかをより明確に理解することができます。
既存の研究によれば、ハミルトングラフ G のエッジの分解はハミルトンサイクルを形成する可能性がある。実際の応用でより注目すべきは、ハミルトン閉路多項式です。これは、ハミルトン閉路の重み付き有向グラフに必要なグラフ記述です。この多項式が特定の状況で常にゼロではない場合、図に描かれている多項式はハミルトンの多項式であると推測できます。
ハミルトン閉路の存在が探究するのが難しい点になると、数学者はそのような問題を解決するためのより効率的なアルゴリズムについて考え始めました。理論的には多くの成果がありましたが、実際に効果的なハミルトン経路を見つける方法は未解決の謎のままです。
数学であれ、他の応用分野であれ、ハミルトン経路とその存在についての議論は深まり続けています。これは数学的な課題であるだけでなく、コンピュータサイエンスと論理的思考の進歩を促進する重要なトピックでもあります。これらの複雑なグラフに隠されたハミルトン経路を見つけることができますか?
