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宇宙最大の対称性：n次元ド・ジッター空間とは？
数理物理学では、n 次元のド シッター空間 (通常 dSn で表される) は、一定の正のスカラー曲率を持つ最大対称ローレンツ多様体です。これは、n 次元球 (n 球) のローレンツ解析に似たもので、宇宙の構造を記述する単純だが奥深い数学モデルとみなすことができます。一般相対性理論におけるド・ジッター空間の主な応用は、観測された宇宙の加速膨張と一致する数学的基礎を提供することです。
デ シッター空間は、正の宇宙論的定数の下でのアインシュタインの場方程式の真空解であり、正の真空エネルギー密度と負の圧力に対応します。
デ シッター空間と反デ シッター空間も、ウィレム デ シッターにちなんで名付けられました。彼はライデン大学の天文学教授であり、1920 年代にアルバート アインシュタインと緊密に協力して宇宙の時空構造を研究しました。デ・ジッター空間の独自の発見も、トゥッリオ・レヴィ＝チヴィタによるものであると考えられています。
ド・シッター空間の定義と性質
デ シッター空間は、標準計量を備えた一般化リープフロッグ空間に埋め込まれた部分多様体として定義できます。より具体的には、n 次元の de Sitter 空間は双曲面の 1 層の多様体を記述し、標準の Leapk 空間は次のように定義されます。
ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^{n} dx_i^2
ここで、いわゆる双曲面は次の方程式を満たします。
-x_0^2 + \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \alpha^2
このうち、α は非ゼロの定数で、単位は長さです。ド・ジッター空間の誘導計量は、周囲のリープク計量から導入され、ローレンツ署名を持ち、縮退していません。
ド・ジッター空間の等長変換群はローレンツ群 O(1, n) であり、n(n + 1)/2 個の独立したキール星を持つことを意味します。
一定の曲率は、あらゆる最大対称空間の固有の特性です。 de Sitter 空間が持つリーマン曲率テンソルは次のように表現できます。
R_{ρσμν} = \frac{1}{\alpha^2}(g_{ρμ}g_{σν} - g_{ρν}g_{σμ})
これは、ド シッター空間のリーマン曲率テンソルが計量的に関連しているため、ド シッター空間がアインシュタイン多様体であることを示しています。これは、ド・ジッター空間がアインシュタイン方程式の真空解であり、宇宙定数の具体的な値がそれが位置する次元に基づいて変化することを意味します。
座標系とその応用
デ シッター空間は静的座標系で表すことができ、そのような式を使用して効果的なダイナミクスを調べることができます。
x_0 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \sinh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
x_1 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \cosh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
このような座標系では、デ シッター計量の形式は宇宙の膨張のフランチャイズを示します。
ds^2 = -\left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2 }\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2
r = α に宇宙の地平線があることに注意してください。
概要
デ・ジッター空間は、宇宙の構造を説明する数学的モデルとして、膨張する宇宙の性質を理解することを可能にするだけでなく、将来の宇宙論研究への道を切り開きます。その対称性と物理的特性は、今日の物理学の深い洞察を反映しており、それが宇宙の理解にどのような影響を与えるかは、依然として検討に値する問題です。
