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重回帰の謎: なぜ異なる方程式を同時に推定すると効率が向上するのか?
計量経済学の分野では、線形回帰モデルの拡張である、一見無関係に見える回帰モデル (SUR) が 1962 年にアーノルド ゼルナーによって提案されました。このモデルには複数の回帰方程式が含まれており、それぞれが独自の独立した従属変数と、場合によっては異なる外生説明変数を持ちます。これらの方程式の設計は互いに独立しているように見えますが、実際にはそれらの誤差項は相互に関連しており、この状況は計量経済学者の間で強い関心を引き起こしています。
SUR モデルの仮定によれば、誤差項は観測値間で独立していますが、同じ観測値内の誤差項は方程式全体で相関している可能性があります。
Zellner の理論によれば、SUR モデルの各方程式は、通常は最小二乗法 (OLS) を使用して独立して推定できます。ただし、この方法は一般に、特定の分散共分散行列による実現可能な一般化最小二乗法 (FGLS) を使用して推定する SUR 方法ほど効率的ではありません。
ほとんどの場合、特に誤差項間に相関がある場合、SUR 法は推定の精度を効果的に向上させることができます。これにより、多くの経済問題では変数が相互作用し、この影響関係が時間の経過とともに現れる傾向があるため、SUR モデルは現実世界の状況をより適切に反映することができます。
誤差項の共分散行列が既知の対角行列である場合、SUR 推定の結果は方程式による OLS 推定の結果と同じになります。
これは、特定のケースでは、個別の回帰に OLS を使用しても SUR と同じ結果が得られることを意味します。たとえば、各方程式の説明変数がまったく同じである場合、SUR モデルの推定値と OLS の結果の一貫性は高くなります。
さらに、SUR モデルの適用は少数の方程式に限定されず、連立方程式モデルなどのより複雑なシステムにも拡張されます。このような場合、方程式の右側の説明変数も内生的な可能性があり、これが計量経済学的手法のさらなる開発の動機となっています。
効果的な推定手法
SUR モデルは通常、2 段階の方法である実行可能一般化最小二乗法 (FGLS) を使用して推定されます。まず、通常の最小二乗法を使用して回帰を実行し、その残差を使用して共分散行列の要素を推定します。 2 番目のステップでは、一般化最小二乗推定に変動行列を使用します。これにより、推定の精度が効果的に向上します。
FGLS 手法に加えて、最尤推定 (ML)、反復一般化最小二乗法 (IGLS)、反復常用最小二乗法 (IOLS) など、他の推定手法から選択できます。これらの方法にはそれぞれ長所と短所がありますが、数値的には同じ結果が得られる傾向があることが研究で示されているため、研究者は実際のニーズに基づいて適切な手法を選択できます。
計量経済学の応用
計量経済学の発展に伴い、SUR モデルは統計ソフトウェアで使用されることが増えています。たとえば、R 言語では「systemfit」パッケージを使用して SUR モデルを推定できます。Stata では、「sureg」および「suest」命令を使用して対応する推定を完了できます。
この一連のテクノロジーの開発により、計量経済学のツールボックスが大幅に充実し、研究者が複雑な経済問題に直面したときに、より正確な分析と予測を提供できるようになりました。
要約すると、SUR モデルの利点は、異なる回帰方程式の間で起こり得る相互作用を完全に考慮できることです。これにより、多変量問題を扱う際にさらなる利点が得られます。しかし、これは、あらゆる状況において SUR を使用することが最善の選択肢であることを意味するのでしょうか?
