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最小二乗法の起源：この数学の魔法はどのようにして生まれたのか？
データ分析と回帰モデルでは、最小二乗法が最も一般的なパラメータ推定法の 1 つです。この方法の核心は、観測値とモデル予測値の間の二乗誤差の合計を最小化することです。最小二乗法の誕生は、18 世紀の科学的発展、特に天文学と測地学の分野に深く根ざしています。当時の科学者は航海のために正確なデータを必要としており、それが最小二乗法の成熟へとつながりました。
最小二乗法は、地球の海洋を航行する際の課題を解決するための探求の中で生まれました。
最小二乗法の開発
最小二乗法の起源は、1805 年にこの方法を初めて公に提案したアドリアン マリー ルジャンドルにまで遡ります。この手法の本質は、代数的手順を通じてデータに線形方程式を当てはめることです。ルジャンドルは発表した論文の中で、ピエール＝シモン・ラプラスが地球の形状を分析するために以前使用したデータを使用しました。
ルジャンドルより前の 1671 年に、アイビー・ニュートンはさまざまな観測結果の組み合わせを調査し始め、これらの観測結果の誤差が集約後に増加するのではなく徐々に減少する最良の推定値の存在を示唆していました。この概念は 1700 年と 1722 年にさらに発展しました。これらの原理に基づく多くの方法が、その後の発見に取り入れられ、「平均法」や「最小絶対偏差法」などとなりました。これらの方法はすべて、異なる条件下での観測データを組み合わせることに重点を置いています。
最小二乗法の開発は、当時の天文学、特に天体の動きの予測における多くの課題に対する回答でした。
歴史上の重要な節目
1810 年、カール・フリードリヒ・ガウスは最小二乗法をさらに改良し、確率論と正規分布に関連付けました。ガウスは著書の中で、1795年からこの手法を習得し、研究に広く活用してきたと主張した。ガウスとルジャンドルの間には優先権をめぐる論争があったものの、最小二乗法と誤差理論をより広範な数学的枠組みにうまく組み合わせた功績は評価に値する。
ガウスの優位性は、算術平均と位置パラメータの最適推定回帰モデルを組み合わせ、最小二乗法の基礎を変革し、回帰分析におけるその優位性を明らかにした点にある。彼は正規分布を発見することでこの方法をさらに改良しました。ガウスに続いて、ラプラスも 1810 年に最小二乗法を検証し、統計学におけるその地位をさらに確立しました。
ガウスの研究は、将来の出来事を予測する上で、特に天文観測の精度において、最小二乗法の強力な可能性を実証しました。
最小二乗法の応用と課題
最小二乗ベースモデルという用語が示すように、その目的は、観測されたデータのセットに最もよく適合するようにモデルパラメータを調整することです。最も一般的なシナリオでは、これらのデータ ポイントは単一変量解析または多変量解析から取得されます。最小二乗法は多くの実用的な状況で広く使用されていますが、特に観測誤差がある場合にはアルゴリズム上の制限もあります。独立変数の誤差を無視できない場合は、より堅牢な推定値を求めるために合計最小二乗法を検討できます。
最小二乗法は、今日でも多くの最新のシミュレーションやデータ分析の基礎となっています。ただし、このアプローチは、複雑な変数の増加に伴って生じる困難から完全に免れるわけではありません。たとえば、非線形最小二乗法では反復近似が必要になることが多く、計算コストが高くなる可能性があります。
結論最小二乗法の成功は、データフィッティングにおける幅広い応用だけでなく、将来のデータ探索における無限の可能性にも起因します。
最小二乗法は単なる数学的手法ではなく、その誕生と発展は科学の進歩の歩みを表しています。何世紀にもわたって、この方法は単純な観察から複雑な数学モデルへと進化し、今日でもデータ サイエンスに欠かせないツールとなっています。こう考えると、将来の数学技術がデータの理解と使用法をどのように変えるのだろうかと疑問に思います。
