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線形結合の秘密: ベクトルが独立しているかどうかを判断するには?
ベクトル空間の理論では、自明でない線形結合がゼロ ベクトルに等しくない場合、ベクトルのセットは「線形独立」と呼ばれます。逆に、このような線形結合が存在する場合、このベクトルの集合は「線形依存性」と呼ばれます。ベクトル空間の次元数は線形独立ベクトルの最大数によって決定できるため、これらの概念は次元数の定義において重要な役割を果たします。
ベクトルのセット内の少なくとも 1 つのベクトルが他のベクトルの線形結合として表現できる場合、このベクトルのセットは線形依存している必要があります。
具体的には、一連のベクトル v1、v2、...、vk がベクトル空間 V からのものであるとします。線形依存性と呼ばれるベクトル。すべてゼロではないスカラー a1、a2、...、ak がある場合、次のようになります。
a1v1 + a2v2 + ... + akこれは、vk = 0 の場合に当てはまります。言い換えれば、スカラーがゼロ以外の場合、少なくとも 1 つのベクトルは他のベクトルの線形結合で表現できるということになります。対照的に、唯一の解決策がすべてのスカラーをゼロにすることである場合、ベクトルのセットは線形独立です。
無限次元の場合、いくつかの空でない有限サブセットが線形独立している限り、このベクトルのセットは線形独立セットです。
さらに、2 つのベクトルの場合、一方のベクトルが他方のベクトルのスカラー倍数である場合に限り、2 つのベクトルは線形依存します。 2 つのベクトルが独立している場合、それらは互いにスカラー倍になることはできません。より具体的には、ベクトルがゼロ ベクトルの場合、ゼロ ベクトルはベクトルの任意の線形結合によって形成される可能性があるため、ベクトルのセットは線形依存する必要があります。
ゼロ ベクトルは、線形に独立したベクトルのセットには現れません。
幾何学的な例で説明すると、ベクトル u と v を考えてみましょう。これらが独立している場合は平面を定義します。ただし、3 番目のベクトル w が u および v と同じ平面内にある場合、3 つのベクトルは線形依存関係を示します。これは、u と v だけで十分なので、3 つのベクトルすべてが平面を記述する必要がないことを意味します。これを推論すると、n 次元空間内の n 個の線形独立ベクトルは空間内の点を一意に定義できます。
ベクトルの線形独立性の評価は、必ずしも直観的であるとは限りません。たとえば、地理位置情報では、人が場所の座標を尋ねた場合、「ここから北に 3 マイル、東に 4 マイルに位置します。」と言えれば、その場所の十分な説明になります。ここでの「北」ベクトルは「東」ベクトルから線形独立であり、「北」の 3 マイルのベクトルと「東」の 4 マイルのベクトルによって形成される「北東」の 5 マイルのベクトルは、最初の 2 つのベクトルは冗長になります。
一連のベクトルの独立性をどのように評価するかは、常に困難な問題です。線形結合とその成分を 1 つずつ調べることで、それらの間の関係をより明確に判断できます。しかし、ベクトルの線形独立性を理解して評価するための、より簡単またはより直観的な方法はあるのでしょうか?
