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強く連結されたグラフの秘密: すべての頂点のペアが相互に通信できることをどのように保証するか?
数学とコンピュータ サイエンスにおいて、接続性はグラフ理論の基本的な概念の 1 つであり、残りのノードを 2 つ以上の独立したサブノードに分離するために、いくつの要素 (ノードまたはエッジ) を削除する必要があるかを問うものです。図。これはネットワークフロー問題の理論と密接に関連しており、グラフの接続性はネットワークの回復力を判断するための重要な指標となります。
接続された頂点と図形
無向グラフ G において、頂点 u から頂点 v へのパスが存在する場合、2 つの頂点は接続されていると言われます。それ以外の場合は切断されていると呼ばれます。 2 つの頂点が長さ 1 のパスによって接続されている場合、つまり単一の辺の端点である場合、それらの頂点は隣接していると言われます。
すべての頂点のペアが接続されているグラフは接続されていると呼ばれます。
無向グラフに連結性がない場合は、切断されていると呼ばれます。たとえば、頂点が 1 つだけ含まれるグラフは接続されていますが、辺が含まれないグラフは明らかに切断されています。有向グラフの場合、そのすべての有向辺を無向辺に置き換えると連結された無向グラフが生成される場合、その有向グラフは弱連結であると呼ばれます。
部品と切断
連結成分は、無向グラフの最大連結部分グラフです。すべての頂点と辺は、正確に 1 つの接続されたコンポーネントに属している必要があります。グラフは、連結されたコンポーネントが 1 つだけある場合にのみ連結されていると呼ばれます。グラフが k 頂点連結であると言われる場合、グラフの頂点連結性が少なくとも k であることを意味します。
グラフの接続性が最小次数に等しい場合、そのグラフは最大連結であると呼ばれます。
簡単に言えば、連結グラフとは、連結性がその辺の数以下であるグラフのことです。頂点カットとは異なり、エッジ カットでは、特定のエッジからカットされる場合でもグラフがカットされます。そのエッジはブリッジと呼ばれます。エッジを削除するとグラフの接続性が失われる場合、そのエッジはクリティカルであると見なされます。
ハイパーコネクティビティと超高コネクティビティ
超連結グラフとは、すべての最小頂点カットによって頂点を分離できるグラフです。超連結グラフとは、最小頂点カットを削除するたびに 2 つのコンポーネントが生成され、そのうちの 1 つが孤立した頂点となるグラフです。この点で、グラフの接続性と高接続性の定義は、独特の特性を示します。
メンガーの定理
メンガーの定理は、頂点間の独立したパスの数によって接続性とエッジの接続性を記述する、接続グラフの重要な特性を定義します。グラフ内で 2 つの異なる頂点 u と v を探索する場合、それらの間の独立したパスの数が考慮されます。この定理は、接続性と独立パスの関係を明らかにします。
メンガーの定理によれば、2 つの頂点間のエッジに依存しないパスの数は、エッジの接続性を反映します。
計算面
グラフ内の 2 つの頂点が接続されているかどうかを判断する問題は、幅優先探索アルゴリズムなどの効率的な探索アルゴリズムを使用することで簡単に解決できます。より一般的な問題は、グラフの接続性を計算し、接続されたコンポーネントの数を数えることです。計算複雑性理論では、多くの問題がグラフの接続性を決定する問題に簡略化されており、これらの問題の計算効率も実証されています。
接続されたグラフの数
n 個のノードを持つさまざまな接続されたラベル付きグラフのデータは、整数シーケンスのオンライン百科事典で見つけることができます。少なくとも 2 つの頂点を持つグラフの場合、エッジの接続性は常にグラフの最小次数以下になります。では、互いに接続された頂点に対してこのプロパティをどのように保証するのでしょうか?
その他の機能
グラフ準同型性により接続性は保持されます。 G が連結であれば、その線グラフ L(G) も連結です。グラフのエッジの接続性が最小次数以下の場合、接続された側面が明らかになります。この定理は、グラフが k 連結である場合、グラフ内の任意の k 頂点の集合に対して、それらすべてを通過する回路が存在することを述べています。
要約すると、接続性、エッジ接続性、またはその他の関連するプロパティのいずれであっても、これらの概念はネットワーク設計とデータ構造において重要な位置を占めています。こうなると、永続的なネットワーク構造を維持および設計する際に、他にどのような要素を考慮する必要があるのか疑問に思います。
