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応力テンソルの秘密: なぜコーシー応力が人気の選択肢なのか?
材料科学と流体力学の分野では、応力テンソルは材料の挙動を記述する中心的な概念の 1 つです。ただし、応力の表現に関しては、コーシー応力テンソルが間違いなく最も一般的な選択肢です。なぜこれが起こるのでしょうか?また、なぜ他の応力測定方法がまだ存在し、使用されているのでしょうか?この記事では、コーシー応力の独自性と応力解析におけるその重要性について詳しく説明します。
コーシー応力の定義
コーシー応力は真応力とも呼ばれ、変形した構成の領域要素に作用する力を表す尺度です。この応力テンソルの最大の特徴は、材料の変形プロセスに非常に敏感であることです。具体的には、コーシー応力は次のように定義されます。
d f = t d Γ
t = σ^T ⋅ n
ここで、t は表面に作用する牽引力、n は力を及ぼす表面の法線ベクトルです。ここから、コーシー応力には、変形環境における材料の状態に関する重要な情報が含まれていることがわかります。
キルヒホッフ応力とその応用
数値シミュレーション、特に金属の塑性変形のコンテキストでは、キルヒホッフ応力テンソルがよく使用されます。この応力は重み付きコーシー応力テンソルと呼ばれることが多く、次のように定義されます。
τ = Jσ
ここで、J は変形勾配の決定因子です。キルヒホッフ応力は応用価値があるだけでなく、数学的記述をある程度単純化できるため、工学分野でも重要な位置を占めています。
ピオラ – キルヒホッフ応力の重要性
コーシー応力とキルヒホッフ応力に加えて、ピオラ・キルヒホッフ応力は材料応力を説明する別の方法を提供します。この応力テンソルは、第 1 ピオラ – キルヒホッフ応力と第 2 ピオラ – キルヒホッフ応力に分割されます。ここで、第 1 ピオラ – キルヒホッフ応力は次のように定義されます。
N^T ⋅ n₀ = d f
最初のピオラ – キルヒホッフ応力は工学応力と呼ばれることが多いですが、2 番目のピオラ – キルヒホッフ応力は対称的であり、材料の反発および弾性挙動の解析に特に役立ちます。
ビオストレスの重要性
バイオストレスは、材料科学におけるひずみ勾配に対する新たな洞察を提供します。これは次のように定義されます。
T = 1/2 (R^T ⋅ P + P^T ⋅ R)
この応力テンソルの存在は、時間の経過とともに材料を変形させるのに必要なエネルギーを理解するために重要であることを意味しますが、その物理的な意味はより抽象的です。
さまざまな比較と相関関係
これらの応力テンソルについて議論するときは、それらの間の変換関係も理解する必要があります。コーシー応力と公称応力の関係は次のとおりです。
N^T = J (F^{-1} ⋅ σ)
このような式は、異なる応力テンソル間の密接な関係を示しているため、例で異なる種類の応力テンソルを柔軟に使用できる可能性があります。
結論
コーシー応力テンソルは、その精度のためだけでなく、変形材料の実践における深い分析的価値のために広く使用されています。いくつかの代替応力測定方法が存在しますが、依然としてコーシー応力が最も一般的で有効な症状です。しかし、読者は、今後の研究において、コーシーストレスの現状に異議を唱える、より革新的なストレス測定法が登場するのだろうか、と疑問に思わずにはいられません。
