Language
Country/Area
No result found
ブロックデザインとは何ですか？数学におけるその神秘的な役割は何ですか？
数学的組み合わせ設計では、ブロック デザインは、ブロック セット全体が対称性とバランスを示すように動作するために、セットとそのサブセット (ブロックと呼ばれる) を含む一連の構造です。これらのサブセットの選択は特定の条件を満たします。ブロック設計には、実験設計、有限幾何学、物理化学、ソフトウェアテスト、暗号学、代数幾何学、その他の分野を含む幅広い用途があります。一般に、ここでいうブロック設計とは、バランス型不完全ブロック設計 (BIBD) を指します。BIBD は、歴史的に最も集中的に研究されてきた特殊な 2 設計であり、主に実験設計で使用されています。
ブロック デザインは要素の組み合わせと配置を示し、数学の多くの神秘的な側面を明らかにします。
ブロック設計の基本概念
数学的には、計画が (最大 t まで) バランスがとれている場合、元のセットのすべての t サブセットが同じ数のブロック内に存在することを意味します。 t が指定されていない場合、通常は t=2 であると想定されます。これは、要素の各ペアが同じ数のブロック内に存在し、設計がペアごとにバランスが取れていることを意味します。 t=1 の場合、各要素は同じ数のブロックに出現し (これを繰り返し数と呼びます)、この設計は通常の設計と呼ばれます。さらに、すべてのブロックが同じサイズである設計は、均一または正しいと言われます。この記事で説明するデザインはすべて均一であり、ブロック デザインの基礎は均一ではないため、ペアワイズ バランス デザイン (PBD) と呼ばれます。
通常のユニフォームのデザイン
最も基本的な「バランスの取れた」設計 (t=1) は、戦術構成または 1 設計と呼ばれます。幾何学では、対応する発生構造を構成と呼びます。この設計は均一かつ規則的です。各ブロックには k 個の要素が含まれ、各要素は r 個のブロックに含まれます。設計内の要素の数 v とブロックの数 b (要素の出現総数) の間には、bk = vr のような関係があります。一定の行と列の合計を持つすべてのバイナリ行列は、規則的な均一ブロック設計のインシデンシア行列です。
バランスのとれたユニフォーム デザインのペア (2 デザインまたは BIBD)
有限集合ブロックが与えられます。この設計では、X 内の任意の x は r ブロックに含まれ、X 内の任意の 2 つの異なる点 x および y も λ ブロックに含まれます。ここでの条件は、前の導出からわかるように、X 内の r ブロックに x が含まれる必要がないことを意味します。この設計を (v, k, λ) 設計または (v, b, r, k, λ) 設計と呼ぶことができます。
不完全なバランスが存在するため、ブロック デザインは組み合わせ数学の神秘と美しさを示します。
シンメトリー 2 デザイン (SBIBD)
2 つのデザインすべてで、ブロックとポイントの数が等しい場合、そのデザインは対称デザインと呼ばれます。このタイプの設計は、最小限のブロック数で他の 2 つの設計の要件を満たし、対称設計では r=k、b=v になります。このうち、任意の 2 つの異なるブロックは λ 点で交差します。ライザーの定理は、対称設計の条件を提供します。
例と応用
ユニークな (6,3,2) デザインには 10 個のブロックがあり、各要素が 5 回繰り返されます。 0 ～ 5 の表記を使用して表されるこれらのブロックは、012、013、024、035、045、125、134、145、234、235 の 3 つ組です。対応する発生率行列は、v×b のバイナリ行列です。ブロック設計の例は、数学から実用的なアプリケーションまで、豊富で多様です。
では、ブロック デザインの開発と応用は、複雑なシステムにおける新しい考え方を提供できるでしょうか?
