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숨겨진 통계적 보물: 일반 선형 회귀가 일반 선형 모델의 특수한 경우인 이유는 무엇인가?
현대 통계학에서 선형 모델의 개념을 통해 연구자는 변수 간의 관계를 이해하고 예측할 수 있습니다. 그 중 일반선형모형(GLM)은 다변량 회귀 분석에 널리 사용되고 있으며, 다중선형회귀는 이 이론의 특수한 경우입니다. 그렇다면 둘은 어떤 관련이 있을까요?
일반 선형 모형은 여러 다변량 회귀 모형을 동시에 표현하는 간결한 방법으로, 독립적인 통계적 선형 모형이 아닙니다. 간단히 말해, 우리는 다음과 같은 형태로 다양한 다변량 회귀 모델을 작성할 수 있습니다.
Y = X * B + U
여기서, Y는 여러 측정 변수의 데이터를 포함하는 행렬이고, X는 독립 변수의 관찰 행렬이며, B는 매개변수 행렬이고, U는 불확실성 또는 오차 행렬입니다. 이러한 오차는 일반적으로 관찰 결과 전체에서 상관관계가 없다고 가정하며 다변수 정규 분포를 따른다는 점을 언급할 가치가 있습니다. 이러한 오차가 다변수 정규 분포를 따르지 않으면 일반화 선형 모델(GLM)을 사용하여 Y와 U에 대한 가정을 완화할 수 있습니다.
일반 선형 모형의 핵심 의미는 ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA 등 다양한 통계 모형을 결합하여 여러 개의 종속 변수를 처리하고 보다 포괄적인 분석을 제공할 수 있다는 것입니다. 이런 의미에서 일반 선형 회귀는 일반 선형 모형의 특수한 경우로, 즉 종속 변수가 하나인 경우에만 적용됩니다.
일반 선형 회귀는 단일 종속 변수에 대한 여러 독립 변수의 효과에 초점을 맞춘 단순 선형 회귀와 관련된 모델입니다.
특히, 일반 선형 회귀의 기본 모델은 다음과 같습니다. Yi = β0 + β1 * Xi1 + β2 * Xi2 + ... + βp * Xip + εi. 이 공식을 사용하여 n개의 관측치와 p개의 독립 변수를 고려하는 경우, Yi는 종속 변수의 i번째 관측치이고, Xik는 독립 변수의 해당 관측치를 나타내며, βj는 추정할 매개변수이고, εi는 i번째 독립적이고 동일하게 분포된 정규 오차입니다.
일반 선형 모형의 경우 종속 변수가 두 개 이상인 경우 다변량 회귀의 영역에 들어갑니다. 이 경우, 각 종속 변수에 대해 해당 회귀 매개변수가 추정되므로, 계산적으로는 실제로는 동일한 설명 변수를 사용하는 일련의 표준 다중 선형 회귀입니다.
일반 선형 모형은 잔차가 조건부 정규 분포를 따른다고 가정하는 반면, 일반화 선형 모형은 이 가정을 완화하여 다양한 분포를 허용합니다.
더 자세히 살펴보면, 일반 선형 모형과 일반화 선형 모형(GLM)의 중요한 차이점은 GLM이 이진 로지스틱 회귀, 포아송 회귀 등과 같은 지수 분포군에서 선택하여 더 광범위한 잔차 분포를 허용한다는 것입니다. 이러한 비판의 중요성은 연구자들이 다양한 유형의 결과 변수에 직면했을 때 최상의 예측 효과를 얻기 위해 적절한 모델을 선택할 수 있다는 것입니다.
예를 들어, 뇌 스캔 데이터 분석에 일반 선형 모델을 적용한 것을 볼 수 있습니다. 여기서 Y는 뇌 스캔 데이터로 구성되고 X는 실험 설계의 변수가 됩니다. 이러한 검정은 일반적으로 단변량 방식으로 수행되며, 이 맥락에서 이를 질량 단변량 분석이라고 하며 통계적 매개변수 매핑 연구에 자주 사용됩니다.
요약하면, 일반 선형 회귀는 일반 선형 모형과 그 특수한 사례와 관련이 있으며, 간단한 관찰에서 복잡한 다변량 관계로 전환하는 방법에 초점을 맞춥니다. 통계 분석 기술이 발전함에 따라 이러한 모델에 숨겨진 보물을 이해하는 것이 연구 작업의 필수적인 부분이 될 것입니다. 하지만 이러한 개발 추세 속에서 우리는 아마도 이렇게 생각해 볼 것입니다. 귀하는 연구와 의사결정에 영향을 미치기 위해 이러한 통계 도구를 충분히 활용했습니까?
