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역 산란 :이 멋진 수학적 도구는 어떻게 KDV 방정식을 해결합니까?
수학 세계에서 Korteweg – De Vries (KDV) 방정식은 얕은 물파의 거동을 설명하는 데 널리 사용됩니다.이 부분 미분 방정식은 통합 방정식에 대한 모델 일뿐 만 아니라 분리 된 파에 대한 솔루션을 포함하여 다양한 솔루션으로 인해 발생하는 것을 자극합니다.이 방정식은 1877 년 Joseph Valentin Boussinesq에 의해 처음 소개되었으며, 이후 1895 년 Diederik Korteweg와 Gustav de Vries에 의해 재발견되었으며 가장 간단한 솔루션을 제공했습니다.
이 방정식의 특별한 점은 비선형 특성으로 인해 일반적인 부분 미분 방정식이 종종 다루기가 어렵지만 많은 명확한 솔루션을 보여줍니다.
1965 년 Norman Zabusky와 Krsukal은 컴퓨터 시뮬레이션을 통해이 방정식에 대한 이해를 심화 시켰고, 1967 년에 개발 된 후속 역 산란 변환은 KDV 방정식을 해결하기위한 새로운 방법을 제공했습니다.Clifford Gardner, John M. Greene, Martin Kruskal 및 Robert Miura가 개발 한 역 산란은 이러한 방정식을 해결하기위한 핵심 수학적 도구입니다.
KDV 방정식의 정의
KDV 방정식은 다음과 같습니다.
∂t 탈 + ∂x³in -6 탈 6, x ∈ R, t ≥ 0
여기서, ∂x³ϕ는 분산 효과를 나타내고, 비선형 항 6겨 ∂xϕ는 대류 용어입니다.이 방정식은 얕은 수파를 설명하는 수학적 모델을 제공하며, 여기서 ϕ는 수면에서 평형 높이로의 변위를 나타냅니다.
분리 된 파동 용액
KDV 방정식의 매혹적인 특징 중 하나는 분리 된 파동 용액, 특히 분리 된 파동 용액입니다.이러한 종류의 솔루션은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
ϕ (x, t) = f (x -ct -a) = f (x)
여기, f (x)는 시간이 지남에 따라 고정 파형을 유지하는 솔루션을 나타냅니다.변수를 교환 할 때, 그러한 솔루션은 특정 잠재력에서 큰 질량 입자의 움직임으로 간주 될 수 있음을 발견 할 수 있습니다.
a = 0 및 c> 0 인 경우 전위 함수는 f = 0에서 국부 최대 값에 도달 하고이 솔루션의 동작은 분리 된 파의 전형적인 특성을 설명합니다.
다중 분리 된 파동 용액
단일 분리 된 파도 솔루션에 대한 추가 연구에서, 우리는 n 분리 된 파동 솔루션을 얻을 수 있습니다.이 솔루션은 다음을 작성할 수 있습니다.
ϕ (x, t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x, t)]
a (x, t) 여기에는 성분이 일련의 감소 된 양성 매개 변수를 포함하는 행렬이 있습니다.이 솔루션은 오랜 시간에 걸쳐 N 다른 분리 된 파로 분해되어 KDV 방정식의 놀라운 용도와 특성을 보여줍니다.
운동 지점
KDV 방정식은 또한 무한한 양의 운동 적분을 가지며, 이는 특정 함수에 해당하며 시간이 지남에 따라 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.이들은 다음과 같이 명확하게 표현 될 수 있습니다.
₂p∫n − 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂²xϕ, ...) dx
이러한 양의 운동의 존재는 KDV 방정식을 수학에서 시선을 사로 잡을뿐만 아니라 물리학에서도 중요한 의미를 갖습니다.
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