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다중 회귀 분석의 미스터리: 서로 다른 방정식을 동시에 추정하면 효율성이 향상되는 이유는 무엇입니까?
계량경제학 분야에서는 1962년 Arnold Zellner가 선형 회귀 모형을 확장한 겉보기 관련 없는 회귀 모형(SUR)을 제안했습니다. 이 모델에는 여러 회귀 방정식이 포함되어 있으며 각 방정식에는 자체 독립 종속 변수와 다른 외생 설명 변수가 있을 수 있습니다. 이러한 방정식의 설계는 서로 독립적인 것처럼 보이지만 실제로는 오류항이 서로 관련되어 있습니다. 이러한 상황은 계량경제학자들 사이에서 큰 관심을 불러일으켰습니다.
SUR 모델의 가정에 따르면 오류 항은 관측치 간에 독립적이지만 동일한 관측치 내의 오류 항은 방정식 전체에서 상관 관계가 있을 수 있습니다.
Zellner의 이론에 따르면 SUR 모델의 각 방정식은 일반적으로 최소 제곱법(OLS)을 사용하여 독립적으로 추정할 수 있습니다. 그러나 이 방법은 일반적으로 특정 변형-공분산 행렬을 통해 실현 가능한 일반화 최소 제곱(FGLS) 방법을 사용하여 추정하는 SUR 방법만큼 효율적이지 않습니다.
대부분의 경우, SUR 방법은 특히 오차항 간에 상관관계가 있는 경우 추정 정확도를 효과적으로 향상시킬 수 있습니다. 이를 통해 SUR 모델은 실제 상황을 더 잘 반영할 수 있습니다. 왜냐하면 많은 경제 문제에서 변수가 서로 상호 작용하고 이러한 영향 관계가 시간이 지남에 따라 나타나는 경향이 있기 때문입니다.
오차 항의 공분산 행렬이 알려진 대각 행렬인 경우 SUR 추정 결과는 방정식별 OLS 추정 결과와 동일합니다.
즉, 일부 특정 경우에는 별도의 회귀 분석을 위해 OLS를 사용하면 SUR과 동일한 결과를 얻을 수도 있습니다. 예를 들어, 각 방정식의 설명 변수가 정확히 동일한 경우 SUR 모델의 추정치와 OLS의 결과는 매우 일관됩니다.
또한 SUR 모델의 적용은 몇 가지 방정식에만 국한되지 않고 연립방정식 모델과 같은 보다 복잡한 시스템까지 확장됩니다. 이러한 경우 방정식의 오른쪽에 있는 설명 변수도 내생적일 수 있으며, 이는 계량경제학 기술의 추가 개발을 촉진했습니다.
효과적인 추정 기법
SUR 모델은 일반적으로 2단계 방법인 실현 가능한 일반화 최소 제곱법(FGLS)을 사용하여 추정됩니다. 먼저, 잔차를 사용하여 공분산 행렬의 요소를 추정하는 일반 최소 제곱법을 사용하여 회귀 분석을 수행합니다. 두 번째 단계에서는 추정의 정확도를 효과적으로 향상시킬 수 있는 일반화된 최소 제곱 추정을 위해 변형 행렬을 사용합니다.
FGLS 방법 외에도 최대 우도 추정(ML), 반복 일반 최소 제곱(IGLS) 및 반복 일반 최소 제곱(IOLS)을 포함하여 선택할 수 있는 여러 다른 추정 기술이 있습니다. 이러한 각 방법에는 장점과 단점이 있지만 연구에 따르면 수치적으로 동일한 결과를 생성하는 경향이 있어 연구자가 실제 필요에 따라 적절한 기술을 선택할 수 있습니다.
계량경제학의 응용
계량경제학이 발전하면서 SUR 모델이 점점 더 많은 통계 소프트웨어에 사용되고 있습니다. 예를 들어 R 언어에서는 "systemfit" 패키지를 사용하여 SUR 모델을 추정할 수 있으며, Stata에서는 "sureg" 및 "suest" 명령을 사용하여 해당 추정을 완료할 수 있습니다.
이러한 일련의 기술 개발로 계량경제학의 도구 상자가 크게 풍부해졌기 때문에 연구자들은 복잡한 경제 문제에 직면할 때 더욱 정확한 분석과 예측을 제공할 수 있게 되었습니다.
요약하자면, SUR 모델의 장점은 다양한 회귀 방정식 간의 가능한 상호 작용을 완전히 고려할 수 있다는 것입니다. 이는 다변량 문제를 처리할 때 더 많은 이점을 제공합니다. 그러나 이는 SUR을 사용하는 것이 모든 상황에서 최선의 선택이라는 것을 의미합니까?
