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Jamming and Glass Transitions: In Mean-Field Theories and Beyond
Abstract
La description detaillee des systemes desordonnes et vitreux represente un defi central en physique statistique et de la matiere condensee, puisqu a ce jour il n existe pas de theorie unique et etablie permettant de comprendre ces systemes, pourtant omnipresents.Ce travail de recherche est lie en particulier a l etude des materiaux vitreux a basse temperature. Plus precisement, si l on considere des systemes formes par un ensemble de particules athermiques avec des interactions repulsives de portee finie, en augmentant la densite, on peut observer une transition dite d encombrement ( jamming ). Celle-ci consiste en un blocage des degres de liberte accompagne par une augmentation spectaculaire de la rigidite du materiau.Nous etudierons ce probleme a l’aide d’une analogie formelle entre des modeles de spheres et le perceptron, un modele theorique qui developpe une transition d encombrement et des phenomenes de frustration typiques des systemes desordonnes.En tant que modele en champ moyen, il permet d obtenir des resultats analytiques precis et generalisables a des systemes a haute dimension.L enjeu majeur de cette etude est de reconstruire le spectre des modes de vibration et toutes les proprietes pertinentes d une phase specifique (correspondant au regime dit des spheres dures).Dans ce cadre, nous deriverons le potentiel effectif en fonction des parametres d ordre du modele et nous montrerons qu il est domine a proximite du point de jamming par une interaction logarithmique non triviale, qui clarifiera le lien entre les forces de contact et les distances moyennes entre les particules, dans la region critique et au-dela.Comprendre pleinement la transition d encombrement et les proprietes du perceptron nous permettra de faire des progres dans plusieurs domaines relies. En premier lieu, cela peut conduire a une theorie complete des systemes amorphes, a la fois en dimension infinie et en dimension finie.De plus, le modele du perceptron semble avoir un lien etroit avec des problemes dits de Von Neumann. En effet, les systemes biologiques et ecologiques developpent souvent des proprietes liees a une condition pseudo-critique en mettant en oeuvre des mecanismes d optimisation de ressource-consommation.Est-il possible d identifier un regime caracterise par une brisure de symetrie? Quel serait le spectre de fluctuations d energie dans ces systemes?Ce ne sont que quelques-unes des questions auxquelles nous essayerons de repondre dans cette these.Cependant, l approximation de champ moyen peut parfois fournir des informationsincorrectes ou trompeuses, en particulier dans l etude de certaines transitions de phase et la determination des dimensions critiques inferieure et superieure.Afin d avoir une vue d ensemble et pouvoir manipuler correctement des systemes en dimension finie, dans la suite de la these nous discuterons comment obtenir un developpement perturbatif systematique, applicable a tout modele, a condition que ce dernier soit defini sur un reseau ou un graphe biparti.Notre motivation est en particulier liee a la possibilite d etudier certaines transitions de phase du second ordre qui existent sur le reseau de Bethe - c est-a-dire un reseau en arbre sans boucles dont chaque noeud a une connectivite fixe - mais qui sont qualitativement differentes ou absentes dans le modele entierement connecte correspondant.