Annales mathématiques du Québec | 2019
Even Galois representations and the cohomology of $$\\mathrm{GL}(2,\\mathbb Z)$$GL(2,Z)
Abstract
Let $$\\rho $$ρ be an even two-dimensional representation of the Galois group $${{\\mathrm{Gal}}}(\\overline{\\mathbb Q}/\\mathbb Q)$$Gal(Q¯/Q) which is induced from a character $$\\chi $$χ of odd order of the absolute Galois group of a real quadratic field K. After imposing some additional conditions on $$\\chi $$χ, we attach $$\\rho $$ρ to a Hecke eigenclass in the cohomology of $$\\mathrm{GL}(2,\\mathbb Z)$$GL(2,Z) with coefficients in a certain infinite-dimensional vector space V over an arbitrary field of characteristic not equal to 2. The space V is defined purely algebraically starting from the field K.RésuméSoit $$\\rho $$ρ une représentation de degré 2 du groupe de Galois $${{\\mathrm{Gal}}}(\\overline{\\mathbb Q}/\\mathbb Q)$$Gal(Q¯/Q) et de déterminant pair. On suppose que $$\\rho $$ρ est induite par un caractère $$\\chi $$χ d’ordre impair appartenant à un corps quadratique réel. Avec conditions additionnelles sur $$\\chi $$χ, on démontre que $$\\rho $$ρ est attachée a un vecteur propre des opérateurs de Hecke dans la cohomologie de $$\\mathrm{GL}(2,\\mathbb Z)$$GL(2,Z) avec coefficients dans un certain espace vectoriel V de dimension infinie sur un corps quelconque de caractéristique non égale a 2. Cet espace V est construit purement algébriquement à partir du corps K.