Archive | 2019
О полных рациональных тригонометрических суммах и интегралах
Abstract
Найдены асимптотические формулы при $m\\to\\infty$ для числа решений системы сравнений вида $$ g_s(x_1)+\\dots +g_s(x_k)\\equiv g_s(x_1)+\\dots +g_s(x_k)\\pmod{p^m}, 1\\leq s\\leq n, $$ где неизвестные $x_1,\\dots ,x_k,y_1,\\dots ,y_k$ могут принимать значения из полной системы вычетов по модулю $p^m,$ а степени многочленов $g_1(x),\\dots ,g_n(x)$ не превосходят $n.$ Указаны такие многочлены $g_1(x),\\dots ,g_n(x),$ для которых эти асимптотики справедливы при $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\\leq 0,5n(n+1)+1$ данные асимптотики не имеют место. Кроме того, для многочленов $g_1(x),\\dots ,g_n(x)$ с вещественными коэффициентами, причем степени многочленов не превосходят $n,$ найдена асимптотика среднего значения тригонометрических интегралов вида $$ \\int\\limits_0^1e^{2\\pi if(x)}, f(x)=\\alpha_1g_1(x)+\\dots +\\alpha_ng_n(x), $$ где осреднение ведётся по всем вещественным параметрам $\\alpha_1,\\dots ,\\alpha_n.$ Эта асимптотика справедлива при степени осреднения $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\\leq 0,5n(n+1)+1$ она не имеет места.} {Asymptotical formulae as $m\\to\\infty$ for the number of solutions of the congruence system of a form $$ g_s(x_1)+\\dots +g_s(x_k)\\equiv g_s(x_1)+\\dots +g_s(x_k)\\pmod{p^m}, 1\\leq s\\leq n, $$ are found, where unknowns $x_1,\\dots ,x_k,y_1,\\dots ,y_k$ can take on values from the complete system of residues modulo $p^m,$ but degrees of polynomials $g_1(x),\\dots ,g_n(x)$ do not exceed $n.$ Such polynomials $g_1(x),\\dots ,g_n(x),$ for which these asymptotics hold as $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\\leq 0,5n(n+1)+1$ the given asymptotics have no place, were shew. Besides, for polynomials $g_1(x),\\dots ,g_n(x)$ with real coefficients, moreover degrees of poly\\-nomials do not exceed $n,$ the asymptotic of a mean value of trigonometrical integrals of the form $$ \\int\\limits_0^1e^{2\\pi if(x)}, f(x)=\\alpha_1g_1(x)+\\dots +\\alpha_ng_n(x), $$ where the averaging is lead on all real parameters $\\alpha_1,\\dots ,\\alpha_n,$ is found. This asymptotic holds for the power of the averaging $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\\leq 0,5n(n+1)+1$ it has no place.