Comptes Rendus. Mathématique | 2021
An upper bound and finiteness criteria for the Galois group of weighted walks with rational coefficients in the quarter plane
Abstract
Using Mazur’s theorem on torsions of elliptic curves, an upper bound 24 for the order of the finite Galois group H associated with weighted walks in the quarter planeZ+ is obtained. The explicit criterion for H to have order 4 or 6 is rederived by simple geometric arguments. Using division polynomials, a recursive criterion for H to have order 4m or 4m+2 is also obtained. As a corollary, an explicit criterion for H to have order 8 is given through a method simpler than the existing one. Résumé. En utilisant le théorème de Mazur sur les torsions de courbes elliptiques, on obtient un majorant 24 pour l’ordre du groupe fini de Galois H associé aux marches pondérées dans le quart de plan Z+. Le critère explicite pour que H soit d’ordre 4 ou 6 est obtenu par un simple argument géométrique. En utilisant des polynômes de division, un critère récursif pour H d’ordre 4m ou 4m + 2 est également obtenu. Comme corollaire, un critère explicite pour que H soit d’ordre 8 est donné et est beaucoup plus simple que la méthode existante. Manuscript received 9th September 2020, revised 16th January 2021 and 6th February 2021, accepted 3rd March 2021. ∗Corresponding author. ISSN (electronic) : 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/ 564 Ruichao Jiang, Javad Tavakoli and Yiqiang Zhao