Transition de phase de fonctions orbitales pour des groupes de Schottky en courbure négative

Abstract

— Let S be a hyperbolic surface with one cusp C and whose fundamental group Γ is a Schottky group with r > 2 generators. We modify the metric inside the cusp C, at a height a > 0, in such a way that the parabolic group associated with C is convergent. We study the influence of the parameter a on the asymptotic behavior of the orbital function of Γ. Il y a vingtaine d’années, mes errances mathématiques d’alors, autour des mesures de Patterson–Sullivan, ont été l’occasion de longues discussions avec Jean-Pierre ; deux articles ont suivi, fruits d’une complicité mathématique et humaine. La profondeur de sa pensée, les fulgurances de son intuition et sa capacité à mêler idées et outils provenant de champs variés m’ont profondément marqué. Ainsi que ce proverbe, qu’il me glissait régulièrement, un tantinet narquois : « Il vaut mieux avoir affaire à Dieu qu’à ses saints ». Il est à l’image de sa démarche scientifique, soucieuse de revenir constamment aux sources de l’intuition et aux écrits des mathématiciens « puissants », ceux qui défrichent de nouveaux domaines et ouvrent des pistes prometteuses. Merci Jean-Pierre pour cette sagesse intellectuelle. Les lignes qui suivent font échos aux questions que nous nous sommes posées à la fin des années 90 ! Les progrès ont été lents, il me faut le reconnaître... mais les réponses partielles exposées ici reposent sur des développements récents en calcul des probabilités et théorie ergodique. Ceci explique un peu cela ! (1) LMPT, UMR 7350, Faculté des Sciences et Techniques, Parc de Grandmont, 37200 Tours, France — [email protected]