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Tesouro estatístico escondido: por que a regressão linear ordinária é um caso especial do modelo linear geral?
Na estatística moderna, o conceito de modelos lineares permite que os pesquisadores entendam e prevejam as relações entre variáveis. Entre eles, o Modelo Linear Geral (MLG) é amplamente utilizado na análise de regressão multivariada, enquanto a Regressão Linear Múltipla é um caso especial dessa teoria. Então, qual é a conexão entre os dois?
O modelo linear geral é uma maneira parcimoniosa de representar múltiplos modelos de regressão multivariada simultaneamente, o que significa que não é um modelo linear estatístico independente. Em resumo, podemos escrever diferentes modelos de regressão multivariada na seguinte forma:
Y = X * B + U
Aqui, Y é uma matriz contendo os dados de múltiplas variáveis medidas, X é a matriz de observação de variáveis independentes, B é a matriz de parâmetros e U é a matriz de incerteza ou erro. Vale mencionar que esses erros geralmente são considerados não correlacionados entre observações e seguem uma distribuição normal multivariada. Se esses erros não seguirem uma distribuição normal multivariada, podemos usar um modelo linear generalizado (MLG) para relaxar as suposições em Y e U.
O significado central do modelo linear geral é que ele combina uma variedade de modelos estatísticos diferentes, como ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, etc., o que lhe permite lidar com mais de uma variável dependente e fornecer uma análise mais abrangente. Nesse sentido, a regressão linear ordinária é um caso especial do modelo linear geral, ou seja, limita-se ao caso de uma variável dependente.
A regressão linear ordinária é um modelo relacionado à regressão linear simples que se concentra nos efeitos de múltiplas variáveis independentes em uma única variável dependente.
Especificamente, o modelo básico de regressão linear ordinária é: Yi = β0 + β1 * Xi1 + β2 * Xi2 + ... + βp * Xip + εi. Se considerarmos n observações e p variáveis independentes usando esta fórmula, Yi é a i-ésima observação da variável dependente, enquanto Xik representa a observação correspondente da variável independente, βj é o parâmetro a ser estimado e εi é o i-ésimo erro normal independente e identicamente distribuído.
Para o modelo linear geral, quando há mais de uma variável dependente, entramos no reino da regressão multivariada. Nesse caso, para cada variável dependente há parâmetros de regressão correspondentes estimados, então, computacionalmente, essa é, na verdade, uma série de regressões lineares múltiplas padrão, todas usando as mesmas variáveis explicativas.
O modelo linear geral assume que os resíduos seguirão uma distribuição normal condicional, enquanto o modelo linear generalizado relaxa essa suposição para permitir uma variedade de outras distribuições.
Olhando mais a fundo, uma diferença importante entre modelos lineares gerais e modelos lineares generalizados (GLMs) é que os GLMs permitem uma gama mais ampla de distribuições residuais, escolhendo entre a família exponencial de distribuições, como regressão logística binária, regressão de Poisson, etc. A importância dessa crítica é que, quando confrontados com diferentes tipos de variáveis de resultado, os pesquisadores podem escolher o modelo apropriado para obter o melhor efeito de previsão.
Por exemplo, pode-se ver a aplicação de modelos lineares gerais na análise de dados de exames cerebrais, onde Y pode consistir nos dados dos exames cerebrais e X seriam as variáveis no desenho experimental. Esses testes geralmente são realizados de forma univariada, o que é chamado neste contexto de análise de massa univariada, e são frequentemente usados em estudos de mapeamento paramétrico estatístico.
Em resumo, a regressão linear ordinária está relacionada ao modelo linear geral como uma família e seus casos especiais, focando em como ir de observações simples para relacionamentos multivariados complexos. À medida que as técnicas de análise estatística avançam, compreender os tesouros escondidos nesses modelos será parte integrante do trabalho de pesquisa. Entretanto, em tal tendência de desenvolvimento, talvez devêssemos pensar: você utilizou totalmente essas ferramentas estatísticas para influenciar sua pesquisa e tomada de decisão?
