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Espalhamento inverso: como essa maravilhosa ferramenta matemática resolve a equação do KDV?
No mundo matemático, a equação de Korteweg -DE (KDV) é amplamente usada para descrever o comportamento das ondas de águas rasas.Essa equação diferencial parcial não é apenas um modelo para equações integradas, mas também desperta o ataque devido às suas diversas soluções, incluindo soluções para ondas isoladas.Esta equação foi introduzida pela primeira vez por Joseph Valentin Boussinesq em 1877 e foi posteriormente redescoberta por Diederik Korteweg e Gustav de Vries em 1895 e deu a solução mais simples.
Em 1965, Norman Zabusky e Krsukal aprofundaram sua compreensão dessa equação por meio de simulações de computador, e a subsequente transformação de espalhamento inverso desenvolvida em 1967 forneceu um novo método para resolver a equação do KDV.A dispersão inversa, desenvolvida por Clifford Gardner, John M. Greene, Martin Kruskal e Robert Miura, é a principal ferramenta matemática para resolver tais equações.O que há de especial nessa equação é que, embora suas características não lineares dificultem a lida de equações diferenciais parciais gerais, ela mostra um grande número de soluções claras.
Definição de equação KDV
A equação do KDV está na forma:
∂tϕ + ∂x³ϕ - 6ϕxϕ = 0, x ∈ R, t ≥ 0
Aqui, ∂x³ϕ representa o efeito de dispersão, enquanto o termo não linear 6 ulgram é o termo de convecção.Esta equação fornece um modelo matemático que descreve ondas de águas rasas, onde ϕ representa o deslocamento da superfície da água para a altura do equilíbrio.
Solução de onda isolada
Uma característica fascinante da equação do KDV é sua solução de onda isolada, especialmente uma solução de onda isolada.Este tipo de solução pode ser escrito como:
ϕ (x, t) = f (x - ct - a) = f (x)
Aqui, f (x) representa a solução que mantém uma forma de onda fixa ao longo do tempo.Ao trocar suas variáveis, pode-se descobrir que essas soluções podem ser consideradas o movimento de partículas de grande massa em um potencial específico.
Se A = 0 e C> 0, a função potencial atinge um máximo local em f = 0, e o comportamento desta solução descreve as características típicas das ondas isoladas.
Solução de ondas isoladas múltiplas
De pesquisas adicionais sobre soluções de ondas isoladas únicas, podemos obter n soluções de ondas isoladas.Esta solução pode ser escrita:
ϕ (x, t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x, t)]
a (x, t) Aqui está uma matriz cujos componentes envolvem uma série de parâmetros positivos reduzidos.Essas soluções se decompõem em N diferentes ondas isoladas por um longo período de tempo, mostrando os incríveis usos e características da equação do KDV.
Pontos de exercício
A equaçãoKDV também possui uma quantidade infinita de integrais de movimento, que corresponde a funções específicas e permanecem inalteradas ao longo do tempo.Estes podem ser claramente expressos como:
∫p₂n - 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂²X, ...) dx
A existência dessas quantidades de movimento torna a equação do KDV não apenas atraente na matemática, mas também tem um significado importante na física.
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