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A maior simetria do universo: o que é o espaço n-dimensional de Sitter?
Na física matemática, um espaço de Sitter n-dimensional (geralmente denotado por dSn) é uma variedade Lorentziana maximamente simétrica com curvatura escalar positiva constante. É o análogo da análise de Lorentz da esfera n-dimensional (n-esfera) e pode ser considerado como um modelo matemático simples, mas profundo, que descreve a estrutura do universo. A principal aplicação do espaço de Sitter na relatividade geral é que ele fornece uma base matemática consistente com a expansão acelerada observada do universo.
O espaço De Sitter é a solução do vácuo da equação de campo de Einstein sob a constante cosmológica positiva, correspondendo à densidade de energia do vácuo positiva e à pressão negativa.
O espaço De Sitter e o espaço anti-de Sitter também recebem o nome de Willem de Sitter. Ele é professor de astronomia na Universidade de Leiden e trabalhou em estreita colaboração com Albert Einstein na década de 1920 para estudar a estrutura espaço-tempo do nosso universo. A descoberta independente do espaço de Sitter também é atribuída a Tullio Levi-Civita.
Definição e propriedades do espaço de Sitter
Um espaço de Sitter pode ser definido como uma subvariedade incorporada em um espaço salto generalizado com métricas padrão. Mais especificamente, o espaço de Sitter n-dimensional descreve uma variedade de uma camada de hiperbolóides, e o espaço bissexto padrão é definido como:
Aqui, o chamado hiperbolóide satisfaz a seguinte equação:
Entre eles, α é uma constante diferente de zero e a unidade é o comprimento. A métrica induzida do espaço de Sitter é introduzida a partir da métrica do salto ambiente, tem assinatura Lorentziana e não é degenerada.
O grupo de transformação isométrica do espaço de Sitter é o grupo de Lorentz O(1, n), o que significa que possui n(n + 1)/2 estrelas de Kiel independentes.
A curvatura constante é uma propriedade intrínseca de todo espaço maximamente simétrico. O tensor de curvatura Riemanniano possuído pelo espaço de Sitter pode ser expresso como:
Isso mostra que o espaço de Sitter é uma variedade Einsteiniana porque seu tensor de curvatura Riemanniano está metricamente relacionado. Isto significa que o espaço de Sitter é uma solução de vácuo para as equações de Einstein, e o valor específico da constante cosmológica varia de acordo com a dimensão em que está localizado.
Sistemas de coordenadas e suas aplicações
O espaço De Sitter pode ser expresso em um sistema de coordenadas estáticas, e tais expressões podem ser usadas para estudar dinâmica efetiva:
x_0 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \sinh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
Sob esse sistema de coordenadas, a forma da métrica de Sitter mostra a franquia da expansão do universo:
Deve-se notar que existe um horizonte cósmico localizado em r = α.
Resumo
O espaço De Sitter, como modelo matemático que explica a estrutura do universo, não só nos permite compreender as propriedades do universo em expansão, mas também abre o caminho para futuras pesquisas cosmológicas. A sua simetria e propriedades físicas reflectem as profundas percepções da física actual. De que forma irá afectar a nossa compreensão do universo ainda é uma questão sobre a qual vale a pena pensar.
