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A mágica da divisão experimental: por que testar apenas números abaixo da raiz quadrada?
No campo da matemática, a fatoração de inteiros é um tópico relativamente simples, mas que exige muito trabalho. Divisão de teste é um dos métodos básicos usados para decompor um inteiro em números primos. Este algoritmo atinge o propósito de resolver o número verificando se um inteiro pode ser dividido por um número menor ou igual à sua raiz quadrada. Embora esse processo possa parecer tedioso, é uma das melhores maneiras de entender conceitos matemáticos.
A ideia básica da divisão experimental é testar sistematicamente se um inteiro n, o inteiro a ser fatorado, é divisível por todo número menor que n.
Tome n = 70 como exemplo. Podemos tentar decompô-lo um número primo de cada vez: Primeiro, 70 dividido por 2 é 35; então, 35 dividido por 2 e 3 não é par; finalmente, 35 dividido por 5 é 7, e o próprio 7 também é um número primo. Portanto, 70 pode ser fatorado como 2 × 5 × 7.
O método da divisão por tentativas tem uma longa história e foi descrito pela primeira vez pelo matemático italiano Fibonacci em sua obra Liber Abaci (1202). Desde então, a divisão experimental se tornou uma ferramenta importante para entender matemática e fatoração.
Como funciona a divisão experimental
O método da divisão experimental funciona em algumas etapas: primeiro, começamos com 2, pois é mais provável que qualquer inteiro n tenha 2 como fator do que 3, e assim por diante. Este julgamento pode efetivamente reduzir a quantidade de cálculo. Nos casos em que já foi provado que um número não é um fator de outro número, como quando se descobre que um número não é múltiplo de 2, não há necessidade de testar seus múltiplos novamente.
Portanto, o intervalo de teste do método de divisão experimental só precisa ser definido abaixo da raiz quadrada de n. Supondo que n seja divisível por algum número p, então deve haver outro número q tal que n = p × q. Se q for menor que p, ele definitivamente será detectado antes.
Isso significa que só precisamos testar fatores candidatos do número primo até que um seja menor que a raiz quadrada de n. Por exemplo, para n = 49, precisamos testar apenas até 7 (que é √49). Se √n é um inteiro, então esse inteiro é um fator de n, e n é um número quadrado perfeito.
Eficiência e limitações da divisão de julgamento
No pior caso, o algoritmo de divisão experimental é ineficiente. Para um número binário de n bits a, começando em 2 e testando até a raiz quadrada de a, o número de divisões de teste necessárias para tal algoritmo é aproximadamente 2^(n/2) / (n/2) ln 2 Claro, este é apenas um cálculo teórico, e a eficiência real pode ser afetada por muitos fatores.
Pode-se demonstrar que aproximadamente 88% dos números inteiros positivos têm um fator abaixo de 100, e 92% têm um fator abaixo de 1000.
Embora a divisão experimental ainda seja um método satisfatório na maioria dos casos, se você encontrar um número longo que não contenha números primos pequenos, pode levar dias ou meses para concluir a fatoração. Neste caso, outros métodos como o crivo quadrático e o crivo geral de campo numérico (GNFS) serão usados. Esses métodos também enfrentam o problema do crescimento do tempo superpolinomial, então, na prática, temos que lidar com o número de bits digitais que pode ser processado. Há um limite prático para o número.
Particularmente no campo da criptografia de chave pública, os valores de grandes fatores primos são escolhidos para serem de tamanho semelhante, de modo a garantir que não possam ser fatorados por nenhum método conhecido publicamente, o que, naturalmente, destaca ainda mais as limitações de o método da divisão experimental.
O maior número criptográfico de chave pública é o RSA-250, um número de 250 bits que levou 2.700 anos-núcleo para ser fatorado usando o GNFS e os recursos de vários supercomputadores.
Com o avanço contínuo da tecnologia digital, a divisão experimental ainda é um método simples e eficaz para fatorar números inteiros, que contém muitos princípios matemáticos que vale a pena considerar. Diante dos desafios matemáticos futuros, quais métodos você acha que podem melhorar ainda mais nossa eficiência e precisão na fatoração?
