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O segredo da computação determinante: como resolvê -lo de maneira inteligente usando circuitos polinomiais?
Na teoria da complexidade do cálculo, os circuitos aritméticos são considerados modelo padrão para calcular polinômios.Basicamente, a função de um circuito aritmético é receber variáveis ou números como entradas e, em seguida, executar operações de adição ou multiplicação.Este modelo fornece uma maneira formal de entender a complexidade dos polinômios computacionais.Então, como calcular efetivamente um determinado polinômio?Essa se tornou uma das questões centrais da pesquisa.
O circuito aritméticoé um gráfico acíclico direcionado com a entrada de cada porta de entrada zero e marcada como uma variável ou elemento de campo.Outros portões são marcados como portões de adição ou portões de multiplicação.Cada circuito tem duas medidas de complexidade: tamanho e profundidade.O tamanho do circuito refere -se ao número de portões nele e a profundidade do circuito refere -se ao comprimento do caminho mais longo.
O circuito aritmético calcula o polinômio de maneira natural, o portão de entrada calcula seu polinomial acentuado, o portão de adição calcula a soma dos polinômios de seus nós filhos, e o portão de multiplicação calcula o produto dos polinomiais dos nós das crianças.
Análise de limite superior
No estudo da complexidade computacional polinomial, foram encontrados alguns circuitos e algoritmos inteligentes.Um exemplo famoso é o algoritmo de multiplicação da matriz de Strassen.Geralmente calculando o produto de duas matrizes N × N requer um circuito de cerca de tamanho N³, mas o Strassen prova que ele pode ser usado para calcular usando um circuito de cerca de N².807.
Computando o determinante da matriz n × n também é uma história interessante.Um método puro requer circuitos de cerca de n!, Mas sabemos que os determinantes podem ser calculados usando circuitos de tamanho polinomial, e as profundidades desses circuitos são lineares.Mas Berkowitz propõe uma melhoria de que o tamanho do circuito ainda é polinomial, mas a profundidade é limitada a O (log² (n)).
No entanto, para uma matriz n × n permanente, o tamanho do circuito mais conhecido é de cerca de 2^n, que é a profundidade três circuitos fornecidos pelo teorema de Ryser.
PRÓXIMO REALMA DESABILIDADE
O conhecimento sobre a prova do limite inferior é muito limitado, especialmente para polinômios de pequenos graus.Por exemplo, o cálculo de níveis muito altos de polinômios requer grandes circuitos, e nosso principal objetivo é provar o limite inferior dos polinômios de pequenos graus.Um grande problema aberto é encontrar exemplos claros de um circuito com um pequeno grau de polinomial, mas exigindo um tamanho superpolinomial.
Embora os argumentos de contagem nos digam que alguns polinômios de pequenos graus também podem exigir circuitos de tamanho superpolinomial, esses resultados geralmente não conseguem aprofundar nossa compreensão do processo computacional.
Por exemplo, o limite inferior até agora pode atingir a escala de ω (n log d), que é refletida principalmente no trabalho de Straassen e Baur e Strassen.
Algebra P e NP Problemas
O problema aberto mais notável na teoria da complexidade computacional é o problema P vs. NP.Problema de analogia algébrica de Valiant vs. VNP é um deles.A VP é uma analogia do princípio do grau polinomial, enquanto o VNP pode ser considerado um problema semelhante ao NP.Valiant prova que um polinômio permanente é um polinômio completo da classe VNP.
O significado da profundidade decrescente
Em nossa compreensão dos cálculos polinomiais, a pesquisa Valiant e outros estudiosos fornece referências importantes.Eles mostram que, se um polinômio tiver um circuito de tamanho S, sua profundidade também pode ser reduzida para O (log (r) log (s)), que fornece orientações de referência para resolver outros problemas semelhantes.
Esse resultado não apenas estende o método de circuito de Berkowitz, mas também nos ajuda a entender melhor o cálculo dos polinômios.
Nesta era em rápida mudança, podemos encontrar novas maneiras de obter informações sobre a estrutura e a complexidade da computação de circuitos para atender aos desafios de futuras necessidades de computação?
