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O segredo das combinações lineares: como determinar se os vetores são independentes?
Na teoria dos espaços vetoriais, um conjunto de vetores é chamado linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial deles for igual ao vetor zero. Pelo contrário, se tal combinação linear existir, o conjunto de vetores é chamado de "linearmente dependente". Esses conceitos desempenham um papel importante na definição de dimensão, porque a dimensão de um espaço vetorial pode ser determinada pelo número máximo de vetores linearmente independentes que ele possui.
Um conjunto de vetores deve ser linearmente dependente se pelo menos um deles puder ser expresso como uma combinação linear de outros vetores.
Especificamente, suponha que um conjunto de vetores v1, v2, ..., vk venha de um espaço vetorial V. Este conjunto de vetores Isso é chamado de dependência linear. Quando existem escalares não totalmente nulos a1, a2, ..., ak tais que
a1v1 + a2v2 + ... + ak vk = 0. Em outras palavras, se há um escalar que é diferente de zero, então segue-se que pelo menos um vetor pode ser representado por uma combinação linear dos outros vetores. Por outro lado, se a única solução for aquela em que todos os escalares são zero, então o conjunto de vetores é linearmente independente.
No caso de dimensão infinita, desde que vários subconjuntos finitos não vazios sejam linearmente independentes, então este conjunto de vetores é um conjunto linearmente independente.
Além disso, para o caso de dois vetores: os dois vetores são linearmente dependentes se e somente se um vetor for um múltiplo escalar do outro vetor. Se dois vetores são independentes, eles não podem ser múltiplos escalares um do outro. Mais especificamente, se um vetor é o vetor zero, então o conjunto de vetores deve ser linearmente dependente, já que o vetor zero pode ser formado por qualquer combinação linear de vetores.
O vetor zero não pode aparecer em nenhum conjunto de vetores linearmente independentes.
Para explicar com um exemplo geométrico: considere os vetores u e v, que se independentes definem um plano. Entretanto, se um terceiro vetor w estiver no mesmo plano que u e v, então os três vetores se tornam linearmente dependentes. Isso significa que todos os três vetores não são necessários para descrever o plano, já que apenas u e v são necessários. Se inferirmos isso, n vetores linearmente independentes no espaço n-dimensional podem definir exclusivamente um ponto no espaço.
Avaliar a independência linear de vetores nem sempre é intuitivo. Por exemplo, em geolocalização, se uma pessoa pede as coordenadas de um lugar, ela pode dizer "Ele está localizado três milhas ao norte daqui e quatro milhas a leste". Isso é suficiente para descrever a localização. Aqui, o vetor "Norte" e o vetor "Leste" são linearmente independentes, e o vetor "Nordeste" de 5 milhas formado pelo vetor "Norte" de 3 milhas e o vetor "Leste" de 4 milhas é uma combinação linear dos dois primeiros vetores. . Isso o torna redundante.
Como avaliar a independência de um conjunto de vetores é sempre um problema desafiador. Ao examinar as combinações lineares e seus componentes um por um, podemos determinar mais claramente a relação entre eles. Mas existe uma maneira mais fácil ou intuitiva de entender e avaliar a independência linear dos vetores?
