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A arma secreta da otimização: você sabe como a busca linear unidimensional encontra a melhor solução?
Em problemas de otimização, como encontrar efetivamente o mínimo local de uma função sempre foi um tópico de grande preocupação. Como um método iterativo básico para resolver esse problema, a tecnologia de busca de linha unidimensional sem dúvida se tornou uma arma secreta no campo da otimização. Este método não é aplicável apenas a situações simples de variável única, mas também pode ser estendido a situações complexas de múltiplas variáveis, ajudando pesquisadores e engenheiros a encontrar soluções mais apropriadas.
Uma busca linear unidimensional primeiro encontra uma direção de descida e então calcula um tamanho de passo para determinar até onde se mover nessa direção.
Primeiro, vamos entender o conceito básico da busca de linha 1D. Suponha que temos uma função unidimensional f, e ela é unimodal, o que significa que em algum intervalo [a, z], ela contém apenas um mínimo local x*. Neste caso, a função f é estritamente decrescente entre [a, x*] e estritamente crescente entre [x*, z].
Para encontrar esse ponto mínimo, vários métodos diferentes podem ser usados, incluindo métodos de ordem zero e de primeira ordem. Métodos de ordem zero não fazem uso de derivadas, mas dependem somente da avaliação de funções. Entre eles, o método de busca de três pontos é amplamente utilizado. Este método seleciona dois pontos b e c e gradualmente estreita o intervalo de pesquisa comparando o tamanho de f(b) e f(c). Se f(b) ≤ f(c), então o mínimo deve estar em [a, c]; caso contrário, deve estar em [b, z].
Este método de redução gradual requer duas avaliações de função, embora cada redução seja de cerca de 1/2, então a velocidade de convergência é linear e a taxa de convergência é de cerca de 0,71. Se b e c forem escolhidos de modo que os comprimentos dos intervalos a, b, c e z sejam iguais, o intervalo de busca será reduzido em 2/3 em cada iteração, e a taxa de convergência será melhorada para cerca de 0,82.
A busca de Fibonacci e a busca da seção áurea também são variantes do método de busca de ordem zero, mas ambas requerem apenas uma avaliação de função, então a eficiência de convergência é maior, e a taxa de convergência é de cerca de 0,618, que é maior do que a de ordem zero. método de pedido. O melhor.
Para esclarecer melhor, os métodos de primeira ordem assumem que a função f é continuamente diferenciável, o que significa que podemos não apenas avaliar o valor da função, mas também calcular suas derivadas. Por exemplo, a busca binária é um método de busca comum. Em cada iteração, se pudermos encontrar o ponto médio c do intervalo, verificando o valor da derivada f'(c), podemos determinar a localização do mínimo.
No entanto, se a convergência superlinear for necessária, precisamos usar métodos de ajuste de curva. Esses métodos ajustam o valor da função conhecida com um polinômio e então encontram o valor mínimo da função ajustada como o novo ponto operacional. Temos que mencionar o método de Newton, que usa derivadas de primeira e segunda ordem e converge quadraticamente quando o ponto inicial está próximo de um mínimo local não degenerado.
Os métodos de ajuste de curvas têm propriedades de convergência superlinear quando o ponto inicial está próximo de um mínimo local, o que os torna poderosos em muitos cenários de aplicação.
Quando múltiplas dimensões estão envolvidas, embora o processo de cálculo específico se torne mais complicado, a busca linear unidimensional ainda pode ser realizada na presença de múltiplas dimensões. Primeiro, ele encontra uma direção de descida e então determina o tamanho do passo para uma otimização eficiente. Muitas vezes, esses modelos podem ser combinados com outros métodos, como o recozimento simulado, para superar o risco de ficar preso em mínimos locais.
Por meio desses métodos, a otimização pode atingir maior desempenho e também nos ajudar a entender melhor os mecanismos por trás dos modelos matemáticos. No desejo de encontrar a melhor solução, seja em pesquisa científica ou aplicações comerciais, a busca linear unidimensional demonstrou seu valor indispensável.
Você já se perguntou que outras maneiras inovadoras haverá para melhorar as técnicas de busca de linha existentes no futuro?
