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O que é design de blocos? Qual é o seu papel misterioso na matemática?
No design combinatório matemático, um design de bloco é uma estrutura de incidência que consiste em um conjunto e seus subconjuntos (chamados blocos), que são selecionados para atender a certas condições, a fim de fazer com que todo o conjunto de blocos se comporte com simetria e equilíbrio. O design de blockchain tem uma ampla gama de aplicações, incluindo design experimental, geometria finita, físico-química, testes de software, criptografia e geometria algébrica. Em termos gerais, quando falamos sobre projetos de blocos, geralmente estamos nos referindo a projetos de blocos incompletos balanceados (BIBD), que são um tipo especial de 2 projetos que historicamente têm sido o tipo mais intensamente estudado, usado principalmente em projetos experimentais.
O design de blocos demonstra a combinação e o arranjo de elementos, revelando muitos aspectos misteriosos da matemática.
Conceitos básicos de projeto de blocos
Matematicamente, se um projeto é balanceado (até t), isso significa que todos os t subconjuntos do conjunto original aparecem em um número igual de blocos. Quando t não é especificado, geralmente assume-se que t=2, o que significa que cada par de elementos aparece no mesmo número de blocos e o design é balanceado em pares. Para t=1, cada elemento aparece no mesmo número de blocos (isso é chamado de número de réplicas), e o design é chamado de design regular. Além disso, projetos em que todos os blocos têm o mesmo tamanho são chamados de uniformes ou corretos. Os projetos discutidos neste artigo são todos homogêneos, e os projetos de blocos cuja base não é homogênea são chamados de projetos balanceados em pares (PBDs).
Design uniforme regularizado
O design "balanceado" mais básico (t=1) é chamado de configuração tática ou design 1. Em geometria, a estrutura de incidência correspondente é chamada de configuração. Este design é uniforme e regular: cada bloco contém k elementos, e cada elemento está contido em r blocos. Existe uma relação entre o número de elementos v em um design e o número de blocos b, que é o número total de ocorrências do elemento, por bk = vr. Toda matriz binária com somas constantes de linhas e colunas é a matriz de incidência para um projeto de bloco uniforme regular.
Projeto uniforme balanceado em pares (2 projetos ou BIBD)
Dado um conjunto finito X (os elementos são chamados pontos) e inteiros k, r, λ ≥ 1, um projeto B, chamado de 2-projeto (ou BIBD), será o conjunto de subconjuntos de k-elementos de X, chamado Bloco. Neste projeto, qualquer x em X está contido em blocos r, e quaisquer dois pontos diferentes x e y em X também estão contidos em blocos λ. Essa condição implica que não é necessário que nenhum x esteja contido em r blocos em X, como pode ser visto na derivação anterior. Podemos chamar esse projeto de projeto (v, k, λ) ou projeto (v, b, r, k, λ).
Projeto Simetria 2 (SBIBD)Devido à existência de equilíbrio imperfeito, o design de blocos revela o mistério e a beleza da matemática combinatória.
Quando o número de blocos e pontos em todos os 2 designs é igual, o design é chamado de design simétrico. Este tipo de projeto atende aos requisitos dos outros 2 projetos com o menor número de blocos e, em projetos simétricos, r=k e b=v. Entre eles, quaisquer dois blocos diferentes se cruzam no ponto λ. O teorema de Ryser fornece as condições para um projeto simétrico.
Exemplos e aplicações
Um design exclusivo (6,3,2) tem 10 blocos e cada elemento é repetido 5 vezes. Usando a notação 0-5, esses blocos são os seguintes tripletos: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. A matriz de incidência correspondente é uma matriz binária de tamanho v×b. Esses exemplos de design de blocos não são apenas ricos e diversos, mas também abrangem uma variedade de campos, da matemática às aplicações práticas.
Então, o desenvolvimento e a aplicação do design de blocos podem nos fornecer novas maneiras de pensar em sistemas complexos?
