Language
Country/Area
No result found
Скрытое статистическое сокровище: почему обычная линейная регрессия является частным случаем общей линейной модели?
В современной статистике концепция линейных моделей позволяет исследователям понимать и прогнозировать взаимосвязи между переменными. Среди них общая линейная модель (GLM) широко используется в многомерном регрессионном анализе, в то время как множественная линейная регрессия является частным случаем этой теории. Так какая же связь между ними?
Общая линейная модель — это экономичный способ одновременного представления нескольких многомерных регрессионных моделей, что означает, что она не является независимой статистической линейной моделью. Короче говоря, мы можем записать различные многомерные регрессионные модели в следующем виде:
Y = X * B + U
Здесь Y — матрица, содержащая данные нескольких измеренных переменных, X — матрица наблюдений независимых переменных, B — матрица параметров, а U — матрица неопределенности или ошибок. Стоит отметить, что обычно предполагается, что эти ошибки не коррелируют между наблюдениями и подчиняются многомерному нормальному распределению. Если эти ошибки не подчиняются многомерному нормальному распределению, мы можем использовать обобщенную линейную модель (GLM), чтобы смягчить предположения относительно Y и U.
Основное значение общей линейной модели заключается в том, что она объединяет множество различных статистических моделей, таких как ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA и т. д., что позволяет ей обрабатывать более одной зависимой переменной и обеспечивать более полный анализ. В этом смысле обычная линейная регрессия является частным случаем общей линейной модели, то есть она ограничена случаем одной зависимой переменной.
Обычная линейная регрессия — это модель, связанная с простой линейной регрессией, которая фокусируется на влиянии нескольких независимых переменных на одну зависимую переменную.
В частности, базовая модель обычной линейной регрессии выглядит следующим образом: Yi = β0 + β1 * Xi1 + β2 * Xi2 + ... + βp * Xip + εi. Если мы рассмотрим n наблюдений и p независимых переменных, используя эту формулу, то Yi будет i-м наблюдением зависимой переменной, тогда как Xik представляет собой соответствующее наблюдение независимой переменной, βj будет параметром, который необходимо оценить, а εi будет i-й независимой и одинаково распределенной нормальной ошибкой.
Для общей линейной модели, когда имеется более одной зависимой переменной, мы вступаем в область многомерной регрессии. В этом случае для каждой зависимой переменной оцениваются соответствующие параметры регрессии, поэтому с точки зрения вычислений это фактически серия стандартных множественных линейных регрессий, использующих одни и те же объясняющие переменные.
Общая линейная модель предполагает, что остатки будут следовать условному нормальному распределению, в то время как обобщенная линейная модель смягчает это предположение, допуская множество других распределений.
Рассматривая дальше, важным различием между общими линейными моделями и обобщенными линейными моделями (GLM) является то, что GLM допускают более широкий диапазон остаточных распределений, выбирая из экспоненциального семейства распределений, таких как бинарная логистическая регрессия, регрессия Пуассона и т. д. Значимость этой критики заключается в том, что, сталкиваясь с различными типами переменных результата, исследователи могут выбрать подходящую модель для получения наилучшего эффекта прогнозирования.
Например, можно увидеть применение общих линейных моделей при анализе данных сканирования мозга, где Y может состоять из данных сканирования мозга, а X — это переменные в экспериментальном плане. Эти тесты обычно выполняются одномерным методом, который в данном контексте называется массово-одномерным анализом, и часто используются в исследованиях статистического параметрического картирования.
Подводя итог, можно сказать, что обычная линейная регрессия связана с общей линейной моделью как с семейством и ее частными случаями, уделяя особое внимание тому, как перейти от простых наблюдений к сложным многомерным связям. По мере развития методов статистического анализа понимание сокровищ, скрытых в этих моделях, станет неотъемлемой частью исследовательской работы. Однако при такой тенденции развития нам, возможно, следует задуматься: в полной ли мере вы использовали эти статистические инструменты для влияния на свои исследования и принятие решений?
