Language
Country/Area
No result found
Обратное рассеяние: как этот замечательный математический инструмент решает уравнение KDV?
В математическом мире уравнение Korteweg - De vries (KDV) широко используется для описания поведения мелких водных волн.Это частичное уравнение является не только моделью для интегрированных уравнений, но и вызывает поражение из -за его разнообразных решений, включая решения изолированных волн.Это уравнение было впервые введено Джозефом Валентином Буссинеском в 1877 году и впоследствии было заново открыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Врисом в 1895 году и дал простейшее решение.
Что особенного в этом уравнении, так это то, что, хотя его нелинейные характеристики делают общие частичные уравнения в части, часто трудно справиться, оно показывает большое количество четких решений.
В 1965 году Норман Забуски и Крисукал углубили свое понимание этого уравнения с помощью компьютерного моделирования, а последующее преобразование обратного рассеяния, разработанное в 1967 году, обеспечило новый метод решения уравнения KDV.Обратное рассеяние, разработанное Клиффордом Гарднером, Джоном М. Грином, Мартином Крускалом и Робертом Миурой, является основным математическим инструментом для решения таких уравнений.
Определение уравнения KDV
Уравнение KDV находится в форме:
∂tϕ + ∂x³ϕ - 6Ц = 0, x ∈ R, t ≥ 0
Здесь ∂x³лий представляет собой эффект дисперсии, в то время как нелинейный термин 6strxx всем конвекционный термин.Это уравнение предоставляет математическую модель, описывающую неглубокие водные волны, где ϕ представляет смещение от поверхности воды к высоте равновесия.
изолированный волновой раствор
Одной увлекательной особенностью уравнения KDV является его изолированный волновой раствор, особенно изолированный волновой раствор.Такое решение можно записать как:
ϕ (x, t) = f (x - ct - a) = f (x)
Здесь F (x) представляет решение, которое со временем поддерживает фиксированную форму волны.При обмене своих переменных можно обнаружить, что такие решения могут рассматриваться как движение частиц крупной массы в определенном потенциале.
Если a = 0 и c> 0, потенциальная функция достигает локального максимума при f = 0, а поведение этого решения описывает типичные характеристики изолированных волн.
множественное изолированное волновое раствор
Из дальнейших исследований единых изолированных волновых растворов мы можем получить n изолированных волновых растворов.Это решение можно написать:
ϕ (x, t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x, t)]
a (x, t) Вот матрица, компоненты которой включают серию сниженных положительных параметров.Эти растворы разлагаются на N разные изолированные волны в течение длительного периода времени, показывая удивительное использование и характеристики уравнения KDV.
Точки упражнений
Уравнение KDV также имеет бесконечное количество интегралов движения, которые соответствуют конкретным функциям и остаются неизменными с течением времени.Они могут быть четко выражены как:
∫p₂n - 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂2xxмобил, ...) dx
Существование этих количеств движения делает уравнение KDV не только привлекательным в математике, но и имеет важное значение в физике.
<