Language
Country/Area
No result found
Прелесть оценки максимального правдоподобия: как заставить данные говорить?
В статистике оценка максимального правдоподобия (ОМП) — это метод оценки параметров предполагаемого распределения вероятностей на основе наблюдаемых данных. Этот метод максимизирует функцию правдоподобия, чтобы гарантировать, что вероятность наблюдаемых данных максимальна в рамках предполагаемой статистической модели. Точка в пространстве параметров, в которой функция правдоподобия достигает максимального значения, является оценкой максимального правдоподобия. Эта логика не только интуитивно понятна, но и гибка, и поэтому стала основным средством статистического вывода.
Оценка максимального правдоподобия делает данные более не скрытыми, а пробуждает скрытую в них информацию посредством корректировки параметров.
Основной принцип оценки максимального правдоподобия заключается в том, чтобы рассматривать набор наблюдений как случайные выборки из некоторого неизвестного совместного распределения вероятностей. Цель состоит в том, чтобы определить значения параметров, которые дают наибольшую совместную вероятность наблюдения данных.
Мы представляем параметры, управляющие совместным распределением, как вектор θ = [θ1, θ2, ..., θk ] так, чтобы он попадал в семейство параметров {f(⋅; θ) | θ ∈ Θ}, где Θ — пространство параметров, конечномерное подмножество евклидова пространства.
Когда мы оцениваем плотность соединений y = (y1, y2, ..., yn) по наблюдаемым данным образец Когда , мы можем получить действительную функцию, которая называется функцией правдоподобия Ln(θ) = Ln(θ; y). Для независимых и одинаково распределенных случайных величин функция правдоподобия является произведением одномерных функций плотности.
Целью оценки максимального правдоподобия является нахождение значения параметра, которое минимизирует функцию правдоподобия в пространстве параметров.
Этот процесс можно понять интуитивно. Ключ к оценке максимального правдоподобия — выбрать значения параметров, которые делают наблюдаемые данные наиболее вероятными. С точки зрения вычислений распространенным подходом является использование натурального логарифма функции правдоподобия, называемого логарифмом правдоподобия.
Вычислив так называемую функцию правдоподобия, мы можем найти максимально возможное значение. Для некоторых моделей эти уравнения можно решить явно, но в общем случае решения в замкнутой форме не существует, поэтому приходится полагаться на численную оптимизацию, чтобы найти оценку максимального правдоподобия.
В анализе данных MLE — это не просто математическая формула, а искусство позволить данным говорить.
Помимо численной оптимизации, важно также отметить, что для конечных выборок может быть несколько решений. Является ли найденное нами решение действительно (локальным) максимумом, зависит от матрицы производных второго порядка, которая называется матрицей Гессе.
Обычно оценка максимального правдоподобия может также соответствовать байесовскому выводу. При равномерном априорном распределении MLE может аппроксимировать оценку максимального апостериорного значения (MAP). Это особенно важно при выполнении статистических выводов и построении моделей.
Магия оценки максимального правдоподобия заключается в ее способности не только характеризовать сами данные, но и обеспечивать значимую основу для принятия решений. Поэтому, будь то экономика, медицина или другие научные исследования, MLE занимает незаменимое положение.
Наконец, мы должны задуматься о том, что сила данных заключается в процессе их понимания. Полностью ли мы использовали данные, чтобы объяснить истории, стоящие за ними?
