Language
Country/Area
No result found
Секретное оружие оптимизации: знаете ли вы, как одномерный линейный поиск находит наилучшее решение?
В задачах оптимизации вопрос эффективного нахождения локального минимума функции всегда был предметом большого интереса. Технология одномерного линейного поиска, как базовый итерационный метод решения этой проблемы, несомненно, стала секретным оружием в области оптимизации. Этот метод применим не только к простым ситуациям с одной переменной, но и может быть распространен на сложные ситуации с несколькими переменными, помогая исследователям и инженерам находить более подходящие решения.
Одномерный линейный поиск сначала находит направление спуска, а затем вычисляет размер шага, чтобы определить, насколько далеко нужно двигаться в этом направлении.
Сначала давайте разберемся с базовой концепцией одномерного линейного поиска. Предположим, что у нас есть одномерная функция f, и она унимодальна, что означает, что в некотором интервале [a, z] она содержит только один локальный минимум x*. В этом случае функция f строго убывает между [a, x*] и строго возрастает между [x*, z].
Чтобы найти эту точку минимума, можно использовать несколько различных методов, включая методы нулевого и первого порядка. Методы нулевого порядка не используют производные, а полагаются исключительно на оценку функций. Среди них широкое распространение получил метод трехточечного поиска. Этот метод выбирает две точки b и c и постепенно сужает диапазон поиска, сравнивая размеры f(b) и f(c). Если f(b) ≤ f(c), то минимум должен быть в [a, c]; в противном случае он должен быть в [b, z].
Этот метод постепенного уменьшения требует двух оценок функции, хотя каждое уменьшение составляет около 1/2, поэтому скорость сходимости линейна, а коэффициент сходимости составляет около 0,71. Если b и c выбраны так, чтобы длины интервалов a, b, c и z были равны, то интервал поиска будет уменьшаться на 2/3 на каждой итерации, а скорость сходимости улучшится примерно до 0,82.
Поиск Фибоначчи и поиск золотого сечения также являются вариантами метода поиска нулевого порядка, но оба требуют только одной оценки функции, поэтому эффективность сходимости выше, а скорость сходимости составляет около 0,618, что выше, чем у метода нулевого порядка. Метод заказа. Лучший.
Для дальнейшего пояснения: методы первого порядка предполагают, что функция f непрерывно дифференцируема, что означает, что мы можем не только оценить значение функции, но и вычислить ее производные. Например, распространенным методом поиска является бинарный поиск. На каждой итерации, если мы можем найти среднюю точку c интервала, проверяя значение производной f'(c), мы можем определить местоположение минимума.
Однако, если требуется сверхлинейная сходимость, нам необходимо использовать методы аппроксимации кривой. Эти методы аппроксимируют известное значение функции полиномом, а затем находят минимальное значение аппроксимированной функции в качестве новой рабочей точки. Следует упомянуть метод Ньютона, который использует производные первого и второго порядка и сходится квадратично, когда начальная точка близка к невырожденному локальному минимуму.
Методы аппроксимации кривых обладают свойствами сверхлинейной сходимости, когда начальная точка близка к локальному минимуму, что делает их эффективными во многих прикладных сценариях.
Когда задействовано несколько измерений, хотя конкретный процесс расчета становится более сложным, одномерный линейный поиск все равно может быть выполнен при наличии нескольких измерений. Сначала он находит направление спуска, а затем определяет размер шага для эффективной оптимизации. Часто такие модели можно комбинировать с другими методами, например, имитацией отжига, чтобы избежать риска застревания в локальных минимумах.
Благодаря этим методам оптимизация может достичь более высокой производительности, а также помочь нам лучше понять механизмы, лежащие в основе математических моделей. В стремлении найти наилучшее решение, будь то в научных исследованиях или коммерческих приложениях, одномерный линейный поиск продемонстрировал свою незаменимую ценность.
Вы когда-нибудь задумывались, какие еще инновационные способы улучшения существующих методов линейного поиска появятся в будущем?
