Language
Country/Area
No result found
Что такое блочный дизайн? Какова его загадочная роль в математике?
В математическом комбинаторном проектировании блочное проектирование представляет собой структуру инцидентности, которая включает набор и его подмножества (называемые блоками). Выбор этих подмножеств отвечает определенным условиям, чтобы весь набор блоков вел себя симметрично и сбалансированно. Блочное проектирование имеет широкий спектр применений, включая экспериментальное проектирование, конечную геометрию, физическую химию, тестирование программного обеспечения, криптографию, алгебраическую геометрию и другие области. Вообще говоря, упомянутая блочная конструкция обычно относится к сбалансированной схеме с неполным блоком (BIBD), которая представляет собой специальную конструкцию 2, которая исторически была наиболее интенсивно изучаемым типом и в основном используется в экспериментальных конструкциях.
Блочный дизайн показывает сочетание и расположение элементов, открывая многие загадочные аспекты математики.
Основные концепции блочного дизайна
Математически, если план сбалансирован (до t), это означает, что все t подмножеств исходного набора встречаются в равном количестве блоков. Когда t не указано, обычно предполагается, что t=2, что означает, что каждая пара элементов встречается в одинаковом количестве блоков и конструкция попарно сбалансирована. При t=1 каждый элемент появляется в одинаковом количестве блоков (это называется количеством повторений), и такая конструкция называется регулярной. Более того, дизайн, в котором все блоки имеют одинаковый размер, называется однородным или правильным. Все конструкции, обсуждаемые в этой статье, являются однородными, а основа блочной конструкции не является единообразной, поэтому их называют попарно сбалансированными конструкциями (PBD).
Обычный дизайн униформы
Самый простой «сбалансированный» дизайн (t=1) называется тактической конфигурацией или дизайном 1. В геометрии соответствующие структуры инцидентности называются конфигурациями. Эта конструкция является одновременно однородной и регулярной: каждый блок содержит k элементов, а каждый элемент содержится в r блоках. Существует связь между количеством элементов v в проекте и количеством блоков b, общим количеством вхождений элемента, как bk = vr. Каждая двоичная матрица с постоянными суммами строк и столбцов представляет собой матрицу инцидентностей регулярного однородного блочного плана.
Дизайн парной сбалансированной униформы (2 дизайна или BIBD)
Данный блок конечного множества. В этом дизайне любой x в X содержится в r блоках, а любые две различные точки x и y в X также содержатся в λ блоках. Условие здесь означает, что нет необходимости содержать какой-либо x в r блоков в X, как видно из предыдущего вывода. Мы можем назвать эту схему (v, k, λ)-схемой или (v, b, r, k, λ)-схемой.
Благодаря существованию несовершенного баланса конструкция блоков демонстрирует тайну и красоту комбинаторной математики.
Дизайн «Симметрия 2» (SBIBD)
Во всех двух дизайнах, когда количество блоков и точек одинаково, дизайн называется симметричным. Этот тип конструкции соответствует требованиям двух других конструкций с минимальным количеством блоков, а в симметричной схеме r=k и b=v. Среди них любые два разных блока пересекаются в точке λ. Теорема Райзера обеспечивает условия для симметричного проектирования.
Примеры и приложения
Уникальная (6,3,2)-конструкция состоит из 10 блоков, каждый элемент повторяется 5 раз. Представленные с использованием обозначений 0–5, эти блоки представляют собой следующую тройку: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. Соответствующая матрица инцидентности представляет собой двоичную матрицу с v×b. Примеры блочных конструкций богаты и разнообразны: от математических до практических приложений.
Итак, может ли разработка и применение блочного проектирования предоставить нам новые способы мышления в сложных системах?
