Language
Country/Area
No result found
Nguồn gốc của phương pháp bình phương nhỏ nhất: Phép thuật toán học này xuất hiện như thế nào?
Trong phân tích dữ liệu và mô hình hồi quy, phương pháp bình phương nhỏ là một trong những phương pháp ước tính tham số phổ biến nhất. Cốt lõi của phương pháp này là giảm thiểu tổng bình phương sai số giữa giá trị quan sát được và giá trị dự đoán của mô hình. Sự ra đời của phương pháp bình phương nhỏ có nguồn gốc sâu xa từ sự phát triển khoa học vào thế kỷ 18, đặc biệt là trong lĩnh vực thiên văn học và trắc địa. Các nhà khoa học vào thời điểm đó cần dữ liệu chính xác để điều hướng, điều này dẫn đến sự hoàn thiện dần dần của phương pháp bình phương nhỏ.
Phương pháp bình phương nhỏ ra đời nhằm giải quyết những thách thức trong việc di chuyển trên các đại dương của Trái Đất.
Sự phát triển của phương pháp bình phương nhỏ nhất
Nguồn gốc của phương pháp bình phương nhỏ nhất có thể bắt nguồn từ Adrien-Marie Legendre, người đầu tiên đề xuất phương pháp này vào năm 1805. Bản chất của kỹ thuật này là đưa phương trình tuyến tính vào dữ liệu thông qua một thủ tục đại số. Trong bài báo đã xuất bản của mình, Legendre đã sử dụng dữ liệu trước đây được Pierre-Simon Laplace sử dụng để phân tích hình dạng của Trái Đất.
Trước Legendre, ngay từ năm 1671, Ivy Newton đã bắt đầu khám phá sự kết hợp của nhiều quan sát khác nhau, đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của những ước tính tốt nhất, trong đó các lỗi của những quan sát này sẽ giảm dần thay vì tăng lên sau khi tổng hợp. Khái niệm này được phát triển thêm vào năm 1700 và 1722. Nhiều phương pháp xoay quanh các nguyên tắc này đã được đưa vào những khám phá sau này, bao gồm "phương pháp trung bình" và "phương pháp độ lệch tuyệt đối nhỏ nhất". Tất cả các phương pháp này đều nhấn mạnh vào việc kết hợp dữ liệu quan sát trong các điều kiện khác nhau.
Sự phát triển của phương pháp bình phương nhỏ là câu trả lời cho nhiều thách thức trong thiên văn học vào thời điểm đó, đặc biệt là trong việc dự đoán chuyển động của các thiên thể.
Những cột mốc quan trọng trong lịch sử
Năm 1810, Carl Friedrich Gauss đã cải tiến phương pháp bình phương nhỏ hơn nữa, liên hệ nó với lý thuyết xác suất và phân phối chuẩn. Gauss tuyên bố trong các tác phẩm của mình rằng ông đã có được phương pháp này từ năm 1795 và đã sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu của mình. Mặc dù có tranh chấp về thứ tự ưu tiên giữa ông và Legendre, Gauss xứng đáng được ghi nhận vì sự kết hợp thành công phương pháp bình phương nhỏ nhất với lý thuyết sai số thành một khuôn khổ toán học rộng hơn.
Ưu điểm của Gauss nằm ở chỗ ông kết hợp trung bình số học với mô hình hồi quy ước lượng tối ưu của tham số vị trí, chuyển đổi cơ sở của phương pháp bình phương nhỏ và làm rõ tính ưu việt của nó trong phân tích hồi quy. Ông đã cải tiến phương pháp này hơn nữa bằng cách khám phá ra phân phối chuẩn. Sau Gauss, Laplace cũng đã xác minh phương pháp bình phương nhỏ vào năm 1810, củng cố thêm vị thế của nó trong thống kê.
Công trình của Gauss đã chứng minh tiềm năng mạnh mẽ của phương pháp bình phương nhỏ trong việc dự đoán các sự kiện trong tương lai, đặc biệt là về độ chính xác của các quan sát thiên văn.
Ứng dụng và thách thức của phương pháp bình phương nhỏ nhất
Như thuật ngữ mô hình dựa trên bình phương nhỏ ngụ ý, mục tiêu là điều chỉnh các tham số mô hình sao cho phù hợp nhất với tập dữ liệu quan sát được. Trong những trường hợp phổ biến nhất, các điểm dữ liệu này có thể đến từ các phân tích đơn biến hoặc đa biến. Mặc dù phương pháp bình phương nhỏ được sử dụng rộng rãi trong nhiều tình huống thực tế, nhưng nó cũng có những hạn chế về mặt thuật toán, đặc biệt là khi xảy ra lỗi quan sát. Nếu không thể bỏ qua lỗi của các biến độc lập, có thể cân nhắc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm kiếm ước tính mạnh mẽ hơn.
Phương pháp bình phương nhỏ vẫn là nền tảng của nhiều mô phỏng và phân tích dữ liệu hiện đại ngày nay. Tuy nhiên, cách tiếp cận này không hoàn toàn tránh khỏi những khó khăn phát sinh khi các biến phức tạp gia tăng. Ví dụ, các phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến tính thường yêu cầu các phép tính gần đúng lặp đi lặp lại, có thể tốn kém về mặt tính toán.
Phần kết luậnThành công của phương pháp bình phương nhỏ không chỉ nằm ở ứng dụng rộng rãi của nó trong việc sắp xếp dữ liệu mà còn ở khả năng không giới hạn của nó trong việc khám phá dữ liệu trong tương lai.
Phương pháp bình phương tối thiểu không chỉ là một kỹ thuật toán học, sự ra đời và phát triển của nó đại diện cho hành trình tiến bộ khoa học. Qua nhiều thế kỷ, phương pháp này đã phát triển từ những quan sát đơn giản thành các mô hình toán học phức tạp và vẫn là công cụ không thể thiếu trong khoa học dữ liệu ngày nay. Điều này khiến chúng ta tự hỏi công nghệ toán học trong tương lai sẽ thay đổi cách hiểu và sử dụng dữ liệu của chúng ta như thế nào?
