Language
Country/Area
No result found
Thiết kế khối là gì? Vai trò bí ẩn của nó trong toán học là gì?
Trong thiết kế tổ hợp toán học, thiết kế khối là một cấu trúc ngẫu nhiên bao gồm một tập hợp và các tập hợp con của nó (được gọi là các khối). Việc lựa chọn các tập hợp con này đáp ứng các điều kiện nhất định để làm cho toàn bộ tập khối hoạt động thể hiện tính đối xứng và cân bằng. Thiết kế khối có nhiều ứng dụng, bao gồm thiết kế thực nghiệm, hình học hữu hạn, hóa lý, kiểm thử phần mềm, mật mã, hình học đại số và các lĩnh vực khác. Nói chung, thiết kế khối được đề cập thường đề cập đến thiết kế khối không hoàn chỉnh cân bằng (BIBD), đây là thiết kế 2 đặc biệt trước đây là loại được nghiên cứu chuyên sâu nhất và chủ yếu được sử dụng trong các thiết kế thử nghiệm.
Thiết kế khối thể hiện sự kết hợp, sắp xếp của các phần tử, mở ra nhiều khía cạnh bí ẩn của toán học.
Các khái niệm cơ bản về thiết kế khối
Về mặt toán học, nếu một thiết kế được cân bằng (tối đa t), điều đó có nghĩa là tất cả t tập hợp con của tập hợp ban đầu xuất hiện ở số khối bằng nhau. Khi t không được chỉ định, người ta thường giả định rằng t=2, có nghĩa là mỗi cặp phần tử xuất hiện trong cùng số khối và thiết kế được cân bằng theo cặp. Với t=1, thì mỗi phần tử xuất hiện trong cùng số khối (đây được gọi là số lần lặp lại) và thiết kế này được gọi là thiết kế thông thường. Hơn nữa, một thiết kế trong đó tất cả các khối có cùng kích thước được cho là đồng nhất hoặc chính xác. Các thiết kế được thảo luận trong bài viết này đều có tính đồng nhất và cơ sở của thiết kế khối cũng không đồng nhất nên được gọi là thiết kế cân bằng theo cặp (PBD).
Thiết kế đồng phục thông thường
Thiết kế "cân bằng" cơ bản nhất (t=1) được gọi là cấu hình chiến thuật hay 1 thiết kế. Trong hình học, các cấu trúc ngẫu nhiên tương ứng được gọi là cấu hình. Thiết kế này vừa đồng nhất vừa chính quy: mỗi khối chứa k phần tử và mỗi phần tử được chứa trong r khối. Có mối quan hệ giữa số v phần tử trong thiết kế và số khối b, tổng số lần xuất hiện của phần tử, như bk = vr. Mọi ma trận nhị phân có tổng hàng và cột không đổi là ma trận ngẫu nhiên có thiết kế khối thống nhất thông thường.
Thiết kế đồng phục cân đối theo cặp (2 thiết kế hoặc BIBD)
Cho một tập hữu hạn khối. Trong thiết kế này, bất kỳ x nào trong X đều được chứa trong r khối và bất kỳ hai điểm phân biệt x và y nào trong X cũng được chứa trong khối λ. Điều kiện ở đây có nghĩa là không cần thiết phải chứa bất kỳ x nào trong r khối trong X, như có thể thấy từ đạo hàm trước đó. Chúng ta có thể gọi thiết kế này là thiết kế (v, k, λ) hoặc thiết kế a (v, b, r, k, λ).
Chính vì sự tồn tại của sự cân bằng không hoàn hảo nên thiết kế khối thể hiện sự huyền bí và vẻ đẹp của toán học tổ hợp.
Thiết kế đối xứng 2 (SBIBD)
Trong cả 2 thiết kế, khi số khối và số điểm bằng nhau thì thiết kế đó được gọi là thiết kế đối xứng. Kiểu thiết kế này đáp ứng được yêu cầu của 2 thiết kế còn lại với số khối tối thiểu và trong thiết kế đối xứng r=k và b=v. Trong số đó, hai khối bất kỳ khác nhau giao nhau tại điểm λ. Định lý Ryser cung cấp các điều kiện cho thiết kế đối xứng.
Ví dụ và ứng dụng
Một thiết kế duy nhất (6,3,2) có 10 khối và mỗi phần tử được lặp lại 5 lần. Được biểu thị bằng ký hiệu 0-5, các khối này là bộ ba sau: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. Ma trận tỷ lệ mắc tương ứng là ma trận nhị phân có v×b. Các ví dụ về thiết kế khối rất phong phú và đa dạng, từ toán học đến ứng dụng thực tế.
Vậy, liệu việc phát triển và ứng dụng thiết kế khối có thể cung cấp cho chúng ta những cách suy nghĩ mới trong các hệ thống phức tạp không?
