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从哈尔丹相到拓扑绝缘体：SPT序的神秘世界是如何崛起的？
随着量子物理研究的深入，科学家们对物质的理解也变得更加精细。特别是对于零温度量子态的性质，其中一个新兴概念便是对称保护拓扑（Symmetry-Protected Topological, SPT）序。这一概念的兴起，使得物质的分类在量子物理的世界中开创了一个崭新的视野。
SPT序是一种在有对称性及有限能隙的量子态下的秩序，具备独特的物理特性。
SPT序的定义中包含两个主要特征。一方面，具有相同对称性的不同SPT态无法在不发生相变的情况下进行平滑变形；另一方面，若在变形过程中破坏了对称性，那么这些态可以无相变地变形为相同的恣意产品态。这使得SPT序不仅能存在于玻色子系统，还能在费米子系统中找到其身影，形成玻色子SPT序和费米子SPT序的概念。
在此背景下，有学者将量子纠缠的概念引入其解释中，指称SPT态为具有对称性的短程纠缠态。这与长程纠缠的拓扑序相对立，后者则与著名的EPR悖论并无关联。
SPT序的特征属性
非平凡的SPT状态其边界有效理论总会存在纯量子异常或混合的重力异常，这也赋予了它们在任何形式的样本边界下均为无隙或退化的特性。特别的是，对于非平凡的SPT状态来说，不能形成一个无隙的非退化边界。
如果边界是一个无隙的退化状态，那么这种退化可能是由自发对称破缺和/或内在的拓扑序造成的。
例如，在非平凡的2+1维SPT态中，单调瑕疵携带着非平凡的统计学及对称群的分数量子数。这一点显示出SPT序的边界与内部的拓扑性质之间的深刻联系。
SPT序与内在拓扑序的关系
SPT态是短程纠缠的，而内在拓扑序则是长程纠缠的。虽然这两者有时候都可以保护无隙边界激发态，但两者的稳定性来源有所不同。内在拓扑序中的无隙边界激发态对任何局部扰动是稳定的，而SPT序中的无隙边界激发态仅对那些不破坏对称性的局部扰动保持稳定。
SPT序中无隙边界激发态是受对称性保护的，而内在拓扑序则是拓扑上受到保护的。
SPT序的兴起不仅仅是理论上的突破，还激发了对许多新量子态的预测。特别是玻色子拓扑绝缘体及拓扑超导体的研究，使得SPT序成为现代凝聚态物理中的一个活跃领域。
SPT相的群上同调理论
当量子态在零温度下被划分时，SPT相的动态失去了自发对称性，导致了与群上同调理论的深刻关联。研究者们发现，这些( d + 1 )维SPT状态可以通过群上同调来进行分类。
对于拥有纯量子异常边界的玻色子SPT相，这些相可以通过下述群同调类别来标定：
H^{d+1}[G,U(1)]
这使得科学界能够透过数学工具深入了解各种SPT相的特性，从而对1D、2D及更高维度的量子态进行精确分类。
一维有互动的量子相的完整分类
在探索SPT序的过程中，研究者们发现1D系统中并不存在内在拓扑序，所有的1D紧凑量子态都是短程纠缠的。根据这一发现，当哈密顿值没有对称性时，这些量子态归类为恣意产品状态。
若哈密顿具有对称性，则1D凝聚态的量子相可以是对称破坏相、SPT相或它们的混合状态。这一新的理解使得我们能够更系统地分类所有的一维紧凑量子相。
面对SPT序的各种特性和相关知识的拓展，未来在这一领域的研究将持续进行。那么，SPT序是否将成为揭开更多未知量子世界的钥匙呢？
