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不再害怕数字！你知道什么是概率数值法吗？
在当今数学和计算数学的世界中，概率数值法作为一个交叉学科的研究领域，逐渐吸引了人们的关注。这个领域结合了应用数学、统计学和机器学习，主要围绕计算的不确定性展开。在概率数值法中，常见的数值分析任务，如数值整合、线性代数、优化、模拟及微分方程的求解，均被视为统计、概率或贝叶斯推断问题。
数值方法是一种算法，用于近似数学问题的解，这包括解线性方程组、计算积分、微分方程的求解及多变量函数的最小值。
传统数值算法是基于确定性方法的，而概率数值算法则将这一过程视为估计或学习问题，并在概率推断的框架下实现。这意味着，可以用一种先验分布来描述所处的计算问题，并通过对计算得出的数字（如矩阵-向量乘积、优化中的梯度、积分函数值等）与目标量之间的关系进行假设，返回后验分布作为输出。
实际上，许多经典的数值算法都可以在概率框架下进行重新解释，例如共轭梯度法、Nordsieck方法、Gaussian积分法则和准牛顿法等。这些技术的优势在于它们不仅能提供结构化的误差估计，还能使用层级贝叶斯推断来设置和控制内部超参数。
概率数值方法允许结合来自多种信息源的数据，有效去除计算中的嵌套循环。
数值任务
整合
在数值整合方面，概率数值方法发展出了许多技术，其中最著名的是贝叶斯积分法。在这一过程中，通过在给定的一系列点上对函数进行评估来估算其整合值。在这种情况下，选择一个先验分布并根据观察数据进行条件化，可以得到后验分布，这对于那些计算代价高昂的函数尤其有用。
优化
在数学优化方面，概率数值法同样得到了深入的研究，贝叶斯优化是一个基于贝叶斯推断的通用方法。这些算法通过对目标函数维持概率信念，以引导后续的观察选择，助力于寻找最小值或最大值。
局部优化
在深度学习背景下的随机优化中，概率数值技术对许多重要问题例如学习率调整、小批量选择等进行了研究，透过显式建模这些不确定性来实现自动决策。
线性代数
在线性代数的应用中，概率数值算法主要集中于解决形为 A x = b 的线性方程组，这样的方法通常是迭代性质的，通过重复的矩阵-向量乘法收集信息。
常微分方程
对于常微分方程，已经开发了多种概率数值方法，这些方法可分为基于随机化和高斯过程回归的方法，能够有效处理初值和边值问题。
偏微分方程
类似地，随着技术的演进，针对偏微分方程的概率数值方法也有所提升，这些方法有效利用了具有高斯过程回归的特性。
历史背景及相关领域
概率数值法的发展并非一蹴而就，而是与数学其他领域如信息复杂性、赛局理论和统计决策理论密切相关。从19世纪末到20世纪初，概率与数值分析的交集便开始受到重视。多位数学家的贡献，从Henri Poincaré到Albert Suldin，再到Mike Larkin等，为此领域的发展铺平了道路。
当我们在面对复杂的数据时，你有没有想过应用概率数值法来提升你的计算效率呢？
