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神秘的哈密顿循环：为何它在平面图中如此特别？
在数学的图论领域中，哈密顿路径（又称可追踪路径）是一条在无向或有向图中恰好访问每个顶点一次的路径，而哈密顿循环（或哈密顿圆路）则是一个循环，恰好访问每个顶点一次。与哈密顿路径及循环相关的计算问题被认为是NP完全问题，意味着没有已知的多项式时间算法可以解决这些问题。哈密顿路径和循环以威廉·罗万·哈密顿的名字命名，他发明了一种称为icosian游戏的拼图游戏，涉及在十二面体的边图中寻找哈密顿循环。
哈密顿的解法使用了icosian计算，这是一种基于单位根的代数结构，与四元数有很多相似之处。
值得注意的是，哈密顿的解法并不适用于任意图。实际上，早在哈密顿之前，托马斯·柯克曼已经对多面体中的哈密顿循环进行过研究，并且给出了没有哈密顿循环的多面体的例子。此外，更早的9世纪时期，印度数学家卢德拉塔和伊斯兰数学家阿尔-阿德利·阿尔-鲁米亦曾探讨过在棋盘上的骑士图中的哈密顿路径。
哈密顿概念的定义
哈密顿路径是访问图中每个顶点恰好一次的路径，而存在哈密顿路径的图称为可追踪图。与此同时如果一个图包含哈密顿循环，则称之为哈密顿图。哈密顿连通的图是指对于每对顶点之间存在哈密顿路径的图。
哈密顿循环和路径的存在性问题在很大程度上影响了许多图的性质。
有趣的例子与性质
许多图的结构都有助于理解哈密顿循环的存在。举例如下：
- 任何超过两个顶点的完全图都是哈密顿的。
- 每个循环图也是哈密顿的。
- 每个锦标赛赛事都有奇数条哈密顿路径。
这些特性不仅限于完全图和循环图，这意味着在探讨其他图的特性时，哈密顿相关性质可以提供更深入的见解。
哈密顿循环的存在性定理
1972年，邦迪-查瓦塔尔定理为哈密顿图的最佳顶点度数特征提供了新的见解。该定理概括了早期G.A.迪拉克和乌斯丁·奥雷的结果。这些定理指向一个核心观点：如果一个图拥有足够的边，它就有可能是哈密顿的。
哈密顿循环的存在性问题随着研究的深入，与图的边数、图的密度和其他多个参数息息相关。
平面图中的哈密顿循环
平面图的哈密顿循环是另一个引人注目的研究领域。哈密顿环的存在与一个图的构造密切相连，特别是在考量图的形状与边的排布时。在许多情况下，即使是一个看似简单的平面图，仍可能具有复杂的哈密顿性质，这使得对平面上图的研究变得特别吸引人。
哈密顿循环多项式的相关性
在权重有向图中，哈密顿循环多项式是一种代数表示，用于描述该图中所有哈密顿循环的权重。这种多项式的计算复杂性与其他数学对比问题密切相关，提供了更深入的视角，让我们了解到哈密顿循环的存在性如何影响计算效率。
思考与展望
随着数学和计算技术的不断进步，对于哈密顿循环的研究也将不断深入，揭示更复杂的数学结构及其在现实世界中的应用。至此，我们不禁要问，未来哈密顿循环的研究将如何推动其他数学领域的发展？
