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函数极值的神秘：如何找出数学中的最高和最低点？
在数学分析中，函数的极大值和极小值分别是函数所取的最大值和最小值。这些通常被称为极值，能在给定范围内（局部或相对极值）或整个定义域（全局或绝对极值）中定义。著名的数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是第一位提出了一种通用技术的数学家，这项技术被称为“等量”技术，用来寻找函数的极大值和极小值。
所谓全局最大值点，当且仅当在定义域内，函数在该点的取值大于或等于其余所有点的取值。
在集合论中，最大值和最小值是相应集合中的最大元素和最小元素。在统计学中，对应的概念是样本的极大值和极小值。
极值的定义
当一个实值函数f 定义于一个范围X 时，若全局（或绝对）最大值点x* 满足f(x*) ≥ f(x) 对于X 中所有的x，则称f 在该点达到全局最大值；同理，若f(x*) ≤ f(x) 则x* 为全局最小值点。此处，函数在最大值点的值被称为函数的最大值，函数在最小值点的值则称为最小值。
即：在度量空间内，如果某一点是全局最大值，则不存在其他点的取值大于此点的取值。
在度量或拓扑空间中，局部最大值点的定义与全局情况相似：若存在某个ε > 0，使得在x* 附近的所有x 皆满足f(x*) ≥ f(x)，则x* 为局部最大值点；局部最小值点则相对应。
寻找极值
寻找全局最大值和最小值的动机正是数学优化的目标。根据极值定理，若一函数在封闭区间内连续，则必定存在全局的最大值和最小值。此外，全局最大值或最小值必须是定义域内的局部最大值或最小值，或者在定义域的边界上。
寻找全局最大值或最小值的一种方法是检查所有内部的局部极值以及边界的值，并选择最大小值。
对于可微分的函数，费马定理指出，在定义域内的局部极值必须发生在临界点。尽管并非所有的临界点都必为极值，透过一阶导数检验、二阶导数检验或更高阶的导数检验，我们通常可以判别临界点是否为局部最大值或最小值。
例子
假设有一个150米的围栏，试图最大化一个矩形围栏的区域，我们可以设置变量 x 为长度，y 为宽度，透过建立方程式：2x + 2y = 200，推导出区域函数 A = xy。通过界定导数并寻找临界点，我们可以找到此矩形的最优面积安排。
对于此情景可得知，在200米围栏的限制下，最大的矩形区域可达到2500平方英尺。
多变量函数的极值
对于有多于一个变量的函数，寻找局部极值的必要条件相似。若针对变量 z 的一阶偏导函数于最大点为零，且二阶偏导数为负值，则可标明该点为局部最大值。然而，对于多维度的函数，全局极值的标定更加复杂。在多于一个变量的情况下，某些条件的成功应用仍需额外的验证，例如该函数必须在定义域内全域可微分。
举例而言，函数f(x,y) = x² + y²(1 - x)³ 的唯一临界点在(0,0)，这是一个局部最小值，但并非全局最小值，因为f (2,3) = -5。
极值和集合的关系
极值的概念也可以应用于集合中。若有一已排序集合 S，最大元素 m 被称为最大元素。同样，若 S 是某已排序集合 T 的子集，则 m 为 S 在 T 中的最小上界。这些概念在数据库中被广泛使用，因为计算一组数字的最大值或最小值通常具有优化的实现效率。
结语
极值理论不仅在数学领域中占有重要地位，还在实际应用中扮演着关键角色。了解如何寻找和识别函数的极大值和极小值，无疑赋予了我们工具，以更好地解决各类问题。你是否曾想过，在未来的数学探索中，隐藏着哪些尚未被发现的极值呢？
