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超越圓形：扭轉常數在不同形狀中的奧秘是什麼？
扭轉常數或扭轉係數是條形材料橫剖面的幾何特性。它涉及到兩者之間的關係，扭力與條形材料的扭轉角度，在同質線性彈性條形材料中，這種關係非常重要。扭轉常數與材料特性及長度一起描述了條形材料的扭轉剛度，其國際單位制的單位為 m4。
歷史
早在1820年，法國工程師 A. Duleau 就透過分析性推導得出，梁的扭轉常數等於正常於截面的第二矩 Jzz。這一定理基於假設，扭轉之前的平面截面在扭轉後仍保持平面，且直徑線不會變化。然而，這一假設只在圓形橫剖面的樑中是正確的，對於任何發生翹曲的其他形狀則不適用。對於非圓形橫截面，並不存在確切的解析方程式來計算扭轉常數，但已經找到了許多形狀的近似解法。非圓形橫截面總會伴隨著翹曲變形，需要數值方法來進行準確的扭轉常數計算。如果通過例如剛性端塊來限制末端截面的翹曲，則可顯著增加非圓形截面樑的扭轉剛度。
扭轉常數的形成
對於長度均勻的橫截面的樑，扭轉角度（以弧度表示）可用以下關係表示：
θ = T * L / (G * J)
其中，T 代表施加的扭矩，L 是樑的長度，G 是材料的剛度模量（剪切模量），而 J 是扭轉常數。反推出來，我們可以定義兩個量，即扭轉剛度 GJ 和扭轉剛度 GJ/L。
範例
當我們考慮具有特定均勻橫截面形狀的條形材料時，這些形狀便是特例。
圓形
對於圓形截面，Jzz = (π * r^4) / 2
這一公式顯示，當半徑為 r 時，它等同於第二矩 Jzz 的確切表示。
橢圓形
對於橢圓形截面，J ≈ (π * a^3 * b^3) / (a^2 + b^2)
這裡 a 是大半徑，b 是小半徑。
正方形
對於正方形截面，J ≈ 2.25 * a^4
此處 a 為邊長的一半。
矩形
對於矩形截面，J ≈ β * a * b^3，其中 β 依據特定表格確定。
此處 a 是長邊，b 是短邊，這有助於理解不同比例的影響。
薄壁開放圓管
此類截面的扭轉常數為 J = (1/3) * U * t^3，其中 U 是中位邊界的長度，t 是壁厚。
圓形薄壁開放管
此時 J = (2/3) * π * r * t^3，其中 t 為壁厚，r 為平均半徑。
雖然在圓形和其他簡單幾何形狀的情況下，我們可以使用精確的公式來計算扭轉常數，但隨著形狀的複雜性增加，所需的方法也變得越來越繁瑣。這是否意味著工程設計的未來需要考慮更複雜的幾何模型以達到最佳結果呢？
