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你知道嗎？為什麼分段法能保證找到根？
在數學中，分段法是一種穩健且簡單的根尋找方法，能對任何已知兩個符號相反的連續函數應用。
分段法的基本原理是根據已知的兩個值之間的區間進行反覆細分，並尋找在該區間內符號發生變化的子區間。這意味著，根必然存在於這種子區間內。特別是在程式應用及數值分析中，分段法被廣泛使用，因為它不僅可保證收斂，且對於連續函數的應用範圍十分廣泛。
進一步理解這一算法，首先需確認函數在給定區間[a, b]的兩個端點f(a)和f(b)之間存在符號變化。依照中值定理，我們可以得知如果f(a)和f(b)符號相反，那麼在(a, b)之間必然至少有一個根。
每次迭代，分段法都將區間細分為兩部分，計算中點c，並升解析f(c)來判斷下一步應該縮小至哪個區間。
每次計算中點後，我們判斷f(c)的值。如果f(c)恰好為零，則運算便成功了。否則，我們有兩個可能的路徑：如果f(a)和f(c)符號相反，則根在(a, c)內；若f(b)和f(c)符號相反，則根在(c, b)內。依此類推，這個方法在每一步都將區間的範圍縮小約50%。因此，雖然該方法收到收斂速度較慢的影響，但是最終可以確保找到根。
由於有限的精度問題，計算機在實現分段法時會遇到一些挑戰。例如，考慮f(x) = cos(x)，其精確值為零的點在數值上無法達到。此外，當區間[a, b]的差距縮小時，計算的中點可能會在浮點精度的限制內與a或b相同。因此，程式設計時通常會加設收斂性檢測或是最大迭代次數的限制。
理想的情況下，分段法能提供的根估計在最壞情況下絕對誤差不會超過我們設定的容忍範圍。
分段法的算法非常簡約並且清晰，一般如下所示：
如果a < b 且 f(a) * f(b) < 0：
設定最大迭代次數NMAX
設定容忍度TOL
當N小於或等於NMAX時：
計算中點c = (a + b) / 2
如果f(c) == 0或(b-a)/2 < TOL，則輸出c並停止
如果f(c)的符號與f(a)相同，則a設定為c
否則，b設定為c
舉個例，假設用分段法尋找多項式f(x) = x³ - x - 2的根。首先，選擇區間[a, b]，找出令f(a)和f(b)有相反符號的a和b。為此選取a = 1和b = 2，則會發現f(1) = -2和f(2) = +4，確認該區間內有根存在。
在第一次迭代中，中點c將是(1 + 2) / 2 = 1.5，進而計算f(1.5)，結果為f(c) = -0.125。在下一步中，由於f(c)為負數，a將更新為1.5，繼續迭代。透過這些步驟，我們可以知道，區間[a, b]將逐漸收斂至根的值，最終經過多次迭代將找到約1.521的根。
分段法的最大優勢，在於其對於任何連續函數的應用，保證了收斂而對誤差範圍提供了一個可控的估算。
儘管分段法效率較低，但卻是絕對可靠的原理。在各種經典數值計算中，我們可以看到許多其他演算法的改進，這些演算法如割線法、Brent方法等，雖然在速度上優於分段法，卻不一定能夠保證一定找到根。因此，分段法張開了數值分析領域的另一扇窗，促進多數算法的發展。
無論是科學研究還是工程問題，能夠找到根的數學方法變得尤為關鍵。你是否也在思考，數學方法如何更有效率地應用於實際問題中呢？
