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你真的懂平均嗎？算術平均、幾何平均的神秘區別是什麼？
在日常用語中，平均是一個代表一組數據最佳的單一數字或值。最常被認為是數字列表最具代表性的平均值是算術平均，它是所有數字加總後除以數字的個數。例如，數字2、3、4、7和9的算術平均是5。根據上下文，最具代表性的統計數據可能會是其他衡量中心趨勢的指標，例如中位數或幾何平均。
某些情況下，例如個人收入的平均值，通常使用中位數，因為這樣可以避免一些富豪的收入拉高整體的算術平均。
有關平均數的普遍性質，其中一個特性是，如果一組數字中的所有數字相同，那麼它們的平均值也將等於這個數字。這一性質在各種類型的平均數中都是共享的。另一個普遍性質是單調性：如果兩組數字A和B的長度相同，且A中的每個數字至少與B中的對應數字一樣大，那麼A的平均值將至少與B相等。
此外，所有的平均數都滿足線性齊次性：如果一組數字都乘以同一個正數，那麼其平均值也會按照相同的比例變化。對於某些類型的加權平均值，例如加權算術平均数或加權幾何平均，數字列表中的項目在計算平均值之前會獲得不同的權重。大多數平均數類型則滿足置換不敏感性，即所有數字在計算其平均值時都同等計算，其在列表中的位置毫無關係。
算術平均、幾何平均與調和平均的區別
算術平均、幾何平均與調和平均被統稱為畢達哥拉斯平均數。除了這些平均數外，模式和中位數也經常被用於估計中心趨勢。
模式是列表中最常出現的數字，而中位數則是將數字按大小排序後位於中間的數字。
例如，在數字列表1、2、2、3、3、3、4中，模式是3，而經過排序的列表1、3、7、13，其中位數則是3和7的算術平均，即5。
不同類型的平均
雖然其他類型的平均數如 τ-th 像分位數不一定是平均數，但它們可以被視為最佳化問題的解。更為複雜的平均數還包括三均值、三中位數和標準化平均等。
在財務方面，平均百分比回報是一種特殊類型的平均，它實質上是幾何平均的應用。當回報是年回報時，這一指標稱為複合年增長率（CAGR）。例如，如果經歷了第一年的投資回報為-10%，第二年為+60%，則可以通過解決總回報的方程來找到CAGR。
移動平均
移動平均是分析數據時常用的工具，用於平滑時間序列，如每日股市價格或年份氣溫。人們通常選擇一個n值，然後通過取前n個值的算術平均來創建新的序列，隨後移動至下一位置，從而創建平滑數據序列。
移動平均的簡單形式是取算術平均，但更複雜的形式則涉及加權平均，以提升或抑制不同的周期性行為。
結語
理解平均的不同類型和其應用範圍是掌握數據分析的基石。人們在進行數據分析和解釋時，是否充分意識到自己使用的是哪一種平均？
