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從小波到曲線：這種轉變如何引領圖像處理的新時代？
隨著數位技術的快速發展，圖像處理已成為各個領域不可或缺的一部分。而在這個浩瀚的領域中，曲線變換（Curvelet Transform）的出現，無疑是一次重要的技術革命。曲線變換作為小波變換的一個延伸，專注於處理那些具有邊界特徵的對象，開創了圖像處理的新機遇。
小波變換通過基底的方式來表徵圖像的位置信息和空間頻率。對於二維或三維信號，方向性小波變換則進一步使用具有定向性和局部化屬性的基底函數。相比之下，曲線變換在變換的尺度上，對方向的局部化程度則隨著尺度的不同而有所變化。在細尺度下，基底函數呈現為纖細的狀態，這一特性使得曲線變換非常適合於表示那些在平滑曲線上擁有奇異點的圖像，諸如漫畫、幾何圖形和文本。
曲線變換能夠對平滑曲線上的對象進行有效表示，尤其是在放大後，其邊緣將顯得越來越直。
曲線變換的另一個重要特徵是它具有更稀疏的表示方式。以幾何測試圖像為例，若其使用的波形數量僅為 n，則最佳近似的誤差隨著 n 的增長而減小的速度，對於傅立葉變換而言，其二次誤差的減少速度僅為 O(1/\sqrt{n})；而對於各類波變換，包括方向性與非方向性變換，則為 O(1/n)。而曲線變換的額外假設賦予它以 O((log n)^3/n^2) 的驚人減少速度，這意味著在很多情況下，曲線變換提供了一種極為高效的數據表示。
在曲線變換的計算上，存在著高效的數值算法。根據Candès等人提出的方案，離散曲線變換的計算成本約為快速傅立葉變換的6到10倍。在處理大小為 n x n 的圖像時，其計算大致可由 O(n^2 log n) 的複雜度描述。
曲線變換的構造
曲線變換的基礎構建涉及到頻域中的極坐標系。基本的曲線元素需集中於附近所謂的“楔形”，對於不同的尺度，楔形的數量會朝著每二圓環加倍的趨勢增長。此方法成功地將頻域的組織結構納入考量，有效提升了對局部特徵的表示能力。
在設計和構造曲線變換時，需考慮極坐標系的局部支撐。
曲線變換的應用範疇極為廣泛，從圖像處理到地震探勘，甚至液體力學及偏微分方程的求解，都是曲線變換技術的實踐領域。此數據表示技術的靈活性使之成為當前壓縮感知和去噪技術中不可或缺的工具。
未來探討
當然，儘管曲線變換在面對某些信號和圖像表現上有其獨特的優勢，對於自然圖像（如照片）來說，其复杂性和多樣性仍然是一大挑戰。在這種情況下，或許更應該考慮使用具有均一aspect比的方向性小波變換來獲取更好結果。因此，隨著對圖像特徵認識的深入，未來的處理技術將如何進一步革新呢？
