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隱藏的通道：如何在巨型網絡中找到開放路徑？
在統計物理學和數學中，滲透理論描述了一個網絡在節點或連接被添加後的行為。這是一種幾何類型的相變，因為在關鍵的添加比例下，小的、不相連的集群合併成為顯著較大的連通集群，稱為“穩定集群”。滲透理論在材料科學及其他許多學科的應用在這裡和其他文章中都有探討，尤其是網絡理論和滲透心理學。
滲透理論的核心問題是：當一些液體倒在多孔材料上時，液體能否從一個孔道流到另一個孔道並到達底部？
這一物理問題在數學上通常被建模為一個 n × n × n 的三維網絡，通常稱為“站點”。在這個網絡中，相鄰之間的邊或“鍵”可以以概率 p 打開（允許液體通過），以概率 1 - p 關閉，且這些假設是獨立的。因此，對於給定的 p，從上到下存在一條開放路徑的概率是什麼？對於較大的 n，這一問題的行為特別值得關注。這個問題被稱為鍵滲透，最早由 Broadbent 和 Hammersley 在1957年引入數學文獻，自那以後，數學家和物理學家對它進行了深入的研究。
另一方面，在另一種隨機圖的數學模型中，站點以概率 p 被“佔用”或以概率 1 - p 被“清空”（在這種情況下其邊被移除）；相應的問題稱為站點滲透。問題是相同的：對於給定的 p，存在一條從上到下的路徑的概率是多少？同樣的問題可以在任何晶格維度中提出。實際上，檢查無限網絡通常比檢查大型網絡更容易。在這種情況下，相關的問題是：是否存在一個無限的開放集群？也就是說，是否存在一條無限長度的連通點的路徑“穿過”網絡？
根據 Kolmogorov 的零-一法則，對於任何給定的 p，無限集群存在的概率要麼為零，要麼為一。
實踐中，這一臨界性非常容易觀察到。即使對於 n 僅有 100，從上到下存在開放路徑的概率也會在短時間內迅速從接近於零增加到接近於一的程度。
歷史
Flory–Stockmayer 理論是首個調查滲透過程的理論。滲透模型的歷史根源於煤炭產業。自工業革命以來，這一能源的經濟重要性促進了許多科學研究，以理解其成分並優化其使用。在1930年代和1940年代，有機化學的定性分析逐漸讓位於更定量的研究。
在這種背景下，英國煤炭利用研究協會（BCURA）於1938年成立，這是一個由煤礦主資助的研究協會。1942年，剛從劍橋大學畢業的 Rosalind Franklin 加入了 BCURA，開始研究煤的密度和孔隙率。在第二次世界大戰期間，煤是一種重要的戰略資源。除了作為能源來源外，煤還是防毒面具的主要成分。煤是一種多孔介質。為了測量其“真實”密度，需將其浸沉於液體或其分子足夠小的氣體中，以填補其微觀孔隙。當她嘗試使用多種氣體（氦、甲醇、己烷、苯）來測量煤的密度時，她發現根據氣體的不同而得到了不同的值，證明了煤的孔是由不同長度的微觀結構組成，這些結構像篩子一樣對氣體進行過濾。
她還發現這些結構的大小取決於煤生產時的碳化溫度。通過這項研究，她獲得了博士學位，並於1946年離開了 BCURA。
在五十年代中期，Simon Broadbent 作為統計學家在 BCURA 工作。他對煤在防毒面具上的使用感興趣，並致力於研究流體如何在煤的孔中擴散，這被建模為開放或閉合隧道的隨機迷宮。在1954年的一次蒙特卡羅方法研討會上，他向 John Hammersley 提出有關使用數值方法來分析此模型的問題。
Broadbent 和 Hammersley 在他們1957年的文章中引入了用數學模型來描述這一現象的滲透模型。
臨界參數的計算
對於大多數無限晶格圖，臨界概率 pc 無法準確計算，雖然在某些情況下 pc 存在確切的值。例如：在二維平方晶格 ℤ2 中，鍵滲透的臨界概率 pc = 1/2，這是一個開放問題超過20年，最終在1980年代初被 Harry Kesten 解決。對於平方晶格上的站點滲透，其 pc 的值從未通過解析推導得出，只能通過對大型晶格的模擬來獲得估計 pc = 0.59274621 ± 0.00000013。
高維晶格的極限情況是貝特晶格，其閾值為 pc = 1/z - 1，其中 z 為協調數。這意味著對於 z 的正則樹，臨界概率 p_c 為 1/(z - 1)。對於無度數度相關的隨機樹狀網絡，可以顯示這樣的網絡可以有一個巨大的組件，而滲透閾值（傳輸概率）則由以下公式給出：
p_c = 1/g_1'(1)
在這裡，g_1(z) 是對應於冗餘度分佈的生成函數。因此，對於隨機的 Erdős–Rényi 網絡，平均度數⟨k⟩ 的情況下，pc = 1/⟨k⟩。在低集群的網絡中，臨界點因子被 (1 - C) 的反向比例擴展，這導致：
p_c = 1/(1-C) * 1/g_1'(1)
這顯示在給定的度分佈下，聚類導致了較大的滲透閾值，主要是因為對於固定的連接數，聚類結構加強了網絡的核心，但卻稀釋了整體的連接。
普遍性
普遍性原則聲明，pc 的數值由圖的局部結構決定，而在臨界閾值 pc 附近的行為則由普遍關鍵指數來特徵化。例如，在臨界點的集群大小分佈遵循某一指數的冪次衰減，在所有二維晶格中都是相同的。這種普遍性意味著對於給定的維度，各種關鍵指數、集群在 pc 的分維度是獨立於晶格類型和滲透類型（例如，鍵或站點）而變化的。
相位
亞臨界與超臨界
在亞臨界相中，主要事實是“指數衰減”。也就是說，當 p < pc 時，特定點（例如原點）包含在某一開放集群的概率隨著集群大小 r 的增加而指數衰減至零。這一點已由 Menshikov（1986年）和 Aizenman & Barsky（1987年）所證明。在兩維中，這是 Kesten 證明 pc = 1/2 的一部分結果。在三維及更高維度，此結果也能成立。
在超臨界階段的主要結果是，對於足夠大的 N，在二維板塊 ℤ2 × [0,N]^(d-2) 幾乎肯定存在一個無限的開放集群。
臨界性
滲透在臨界點 p = pc 附近存在奇點特性，許多性質在此點附近行為如 p - pc 的冪次。在 d = 2 時，這些預測受到了來自共形場理論和 Schramm–Loewner 演變的支持，並包括對指數的預測數值。許多預測仍是猜想，尤其當維度 d 等於 2 或 d ≥ 6 時。
不同的模型
有向滲透模型模擬了引力對液體的作用，並與接觸過程有關聯。最早研究的模型是伯努利滲透。在這個模型中，所有的邊都是獨立的，這個模型被物理學家稱為“鍵滲透”。接下來引入的 Fortuin–Kasteleyn 隨機集群模型，與 Ising 模型及其他 Potts 模型有許多聯繫。
應用
在生物學、生物化學和物理病毒學中的應用
滲透理論被成功應用於預測生物病毒外殼（衣殼）的碎裂，特別是對於乙型肝炎病毒衣殼的碎裂閾值，已得到實驗檢測。當有關鍵數量的子單元隨機移除後，幾乎可檢測到其碎裂，采用電荷檢測質量光譜法及其他單粒子技術具有重要意義。
在生態學中的應用
滲透理論已應用於研究環境碎片化如何影響動物棲息地，以及腺鼠疫菌（Yersinia pestis）擴散的模型。
隱藏的通道在我們這個日益互聯的世界中，是否能讓我們更好地理解依賴於網絡的整體連接性問題？
