Language
Country/Area
No result found
隱藏的統計寶藏：為什麼普通線性回歸是一般線性模型的特例？
在現代統計學中，線性模型的概念讓研究人員能夠理解和預測變量之間的關係。其中，一般線性模型（General Linear Model，GLM）被廣泛應用於多變量回歸分析中，而普通線性回歸（Multiple Linear Regression）則是這一理論的一個特例。那麼，這兩者之間究竟有什麼關聯呢？
一般線性模型是一種將多個多變量回歸模型同時表示的簡約方法，這意味著它並不是一個獨立的統計線性模型。簡而言之，我們可以將不同的多變量回歸模型以這樣的形式寫出來：
Y = X * B + U
在這裡，Y是一個矩陣，包含多個測量的變數數據，X是獨立變數的觀測矩陣，B是參數矩陣，而U則是不確定性或誤差的矩陣。值得一提的是，這些誤差通常被假設為在觀測間不相關，並且遵循多變量正態分佈。如果這些誤差不遵循多變量正態分佈，我們可以使用廣義線性模型（Generalized Linear Model，GLM）來放寬對Y和U的假設。
一般線性模型的核心意涵在於它結合了多種不同的統計模型，如ANOVA、ANCOVA、MANOVA、MANCOVA等，這使得它能夠處理多於一個的因變數，進而提供更全面的分析。在這個意義上，普通線性回歸便是一般線性模型的特例，即僅限於一個因變數的情況。
普通線性回歸是一種與簡單線性回歸相關的模型，專注於多個獨立變數對單一因變數的影響。
具體而言，普通線性回歸的基本模型是：Y_i = β_0 + β_1 * X_i1 + β_2 * X_i2 + ... + β_p * X_ip + ε_i。如果我們以此公式考量n個觀測和p個獨立變數，Y_i便是因變數的第i個觀測值，而X_ik則表示獨立變數的相應觀測，β_j是待估算的參數，ε_i是第i個獨立同分佈常態誤差。
對於一般線性模型而言，當有多於一個的因變數時，我們就進入了多變量回歸的領域。在這種情況下，對於每個因變數，會有相應的回歸參數進行估計，因此在計算上，這實際上是一連串的標準多元線性回歸，所有這些都使用相同的解釋變數。
一般線性模型的假設是殘差將遵循條件常態分佈，而廣義線性模型則將這一假設放寬，允許多種其他分佈。
進一步來看，一般線性模型與廣義線性模型（GLM）之間的一個重要區別在於，GLM允許更廣泛的殘差分佈形式，從指數分佈族中選擇，如二元邏輯回歸、泊松回歸等。這批評意義在於，當面對不同類型的結果變數時，研究者可以選擇合適的模型以獲得最佳的預測效果。
舉例來說，在腦部掃描數據的分析中就可以看到一般線性模型的應用，Y可能包含來自腦掃描的數據，X則是實驗設計中的變數。這些測試通常是以單變量的方式進行，這在該範疇內被稱作質量單變量（mass-univariate）分析，並且經常被運用在統計參數映射的研究中。
普通線性回歸與一般線性模型的關係如同家族與其特例之間的聯繫，聚焦於如何從簡單的觀察變化到複雜的多變量關係。隨著統計分析技術的發展，理解這些模型所隱含的寶藏將是研究工作中不可或缺的一部分。然而，在這樣的一個發展趨勢中，我們也許應該思考：你是否已經充分利用了這些統計工具來影響你的研究與決策?
