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不再害怕數字！你知道什麼是概率數值法嗎？
在當今數學和計算數學的世界中，概率數值法作為一個交叉學科的研究領域，逐漸吸引了人們的關注。這個領域結合了應用數學、統計學和機器學習，主要圍繞計算的不確定性展開。在概率數值法中，常見的數值分析任務，如數值整合、線性代數、優化、模擬及微分方程的求解，均被視為統計、概率或貝葉斯推斷問題。
數值方法是一種算法，用於近似數學問題的解，這包括解線性方程組、計算積分、微分方程的求解及多變量函數的最小值。
傳統數值算法是基於確定性方法的，而概率數值算法則將這一過程視為估計或學習問題，並在概率推斷的框架下實現。這意味著，可以用一種先驗分佈來描述所處的計算問題，並通過對計算得出的數字（如矩陣-向量乘積、優化中的梯度、積分函數值等）與目標量之間的關係進行假設，返回後驗分佈作為輸出。
實際上，許多經典的數值算法都可以在概率框架下進行重新解釋，例如共軛梯度法、Nordsieck方法、Gaussian積分法則和準牛頓法等。這些技術的優勢在於它們不僅能提供結構化的誤差估計，還能使用層級貝葉斯推斷來設置和控制內部超參數。
概率數值方法允許結合來自多種信息源的數據，有效去除計算中的嵌套循環。
數值任務
整合
在數值整合方面，概率數值方法發展出了許多技術，其中最著名的是貝葉斯積分法。在這一過程中，通過在給定的一系列點上對函數進行評估來估算其整合值。在這種情況下，選擇一個先驗分佈並根據觀察數據進行條件化，可以得到後驗分佈，這對於那些計算代價高昂的函數尤其有用。
優化
在數學優化方面，概率數值法同樣得到了深入的研究，貝葉斯優化是一個基於貝葉斯推斷的通用方法。這些算法通過對目標函數維持概率信念，以引導後續的觀察選擇，助力於尋找最小值或最大值。
局部優化
在深度學習背景下的隨機優化中，概率數值技術對許多重要問題例如學習率調整、小批量選擇等進行了研究，透過顯式建模這些不確定性來實現自動決策。
線性代數
在線性代數的應用中，概率數值算法主要集中於解決形為 A x = b 的線性方程組，這樣的方法通常是迭代性質的，通過重複的矩陣-向量乘法收集信息。
常微分方程
對於常微分方程，已經開發了多種概率數值方法，這些方法可分為基於隨機化和高斯過程回歸的方法，能夠有效處理初值和邊值問題。
偏微分方程
類似地，隨著技術的演進，針對偏微分方程的概率數值方法也有所提昇，這些方法有效利用了具有高斯過程回歸的特性。
歷史背景及相關領域
概率數值法的發展並非一蹴而就，而是與數學其他領域如信息複雜性、賽局理論和統計決策理論密切相關。從19世紀末到20世紀初，概率與數值分析的交集便開始受到重視。多位數學家的貢獻，從Henri Poincaré到Albert Suldin，再到Mike Larkin等，為此領域的發展鋪平了道路。
當我們在面對複雜的數據時，你有沒有想過應用概率數值法來提升你的計算效率呢？
