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幾何相位的奧秘：為什麼量子系統能獲得隱藏的相位？
在物理學的領域中，幾何相位是量子系統在經歷循環絕熱過程中獲得的一個相位差。這一現象不僅涵蓋了量子力學的核心理論，還揭示了許多驚人的物理現象。從1956年S. Pancharatnam在經典光學中獨立發現這一現象開始，經過後來的發展和深化，由Michael Berry於1984年進一步推廣，幾何相位（又稱Pancharatnam–Berry相位、Pancharatnam相位或Berry相位）已經成為一種重要的物理現象。
幾何相位的存在源於哈密爾頓量的參數空間的幾何特性。當一個系統經歷誘發性的參數變化過程，並最終返回到原來的狀態時，若這樣的過程具有循環性，則將獲得額外的相位差。這一現象不僅限於量子系統，其在經典光學中同樣具有重要的應用和理論價值。
幾何相位發生的關鍵在於參數的變化是非常緩慢的（絕熱），這使得系統可以在每一點的瞬間保持在它的能量本徵態上。
發生幾何相位時，通常系統的狀態的依賴性是奇異的。這意味著在某些參數組合下，系統的狀態可能是不定義的。為了測量幾何相位，通常需要通過干涉實驗來實現。在這方面，古典力學中的Foucault擺便是一個經典的示例。
量子力學中的Berry相位
在量子系統中，假如處於n階本徵態，哈密爾頓量的絕熱進化會使系統保持在n階本徵態上，並獲得一個相位因子。這個相位的獲得不僅來自於狀態隨時間的進展，還包含了隨著哈密爾頓量變化而改變的本徵態的變化。
對於循環變化的哈密爾頓量，Berry相位無法被取消，因為它是不變的，是系統的一個可觀測性質。
Berry相位的存在與哈密爾頓量的參數變化息息相關，可以通過對沿著封閉路徑進行的積分來計算。這樣的過程使得需要對整體的變化進行相位項的描述。這使得系統在參數空間中循環，並獲得相應的幾何相位。
幾何相位的應用實例
Foucault擺
Foucault擺是一個非常容易理解幾何相位的例子。當擺錘隨著地球自轉而移動時，其圓周運動的平面會有一個預旋轉。對於某些特定路徑，這個旋轉的總數量正是擺錘在經過任何封閉路徑之後，所包含的固體角度的量度。
換句話說，這個預旋轉的現象並不是因為受到慣性力的影響，而是由於擺所沿著的路徑的轉動所造成的。
在巴黎的緯度下，Foucault擺的預旋轉周期大約為32小時，這也意味著當一天的自轉結束時，擺的平面狀態發生了顯著的變化。這一現象深刻地指出了幾何相位與物理系統之間的密切聯繫。
光纖中的極化光
第二個例子是進入單模光纖的線性極化光。在此過程中，光的運動動量始終與光纖的路徑相切，這樣在光線進入和退出過程中，極化狀態的變化也可透過幾何相位來描述。光在進入光纖時的極化方向與離開時的極化方向會有相位的差異。
這個相位變化的量也是由光線在光纖中運動過程中所包圍的固體角度來測量。
透過這些例子，我們可以看出，幾何相位不僅僅是一種數學上的奇異性，它還對物理現象的理解提供了深刻的視角和應用的潛力。
試想一下，這個世界上還有什麼其他的物理現象，可以透過幾何相位的角度，讓我們發現更多隱藏的奧秘呢？
