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根軌跡分析的神秘面紗：如何用圖形探索系統的極點移動？
在控制理論及穩定性分析的領域中，根軌跡分析作為一種圖形化的方法，旨在探討系統的根隨著某一系統參數（通常為反饋系統中的增益變化）而發生的變化。此技術源自於沃爾特·R·愛文斯（Walter R. Evans）所發展的經典控制理論，並能有效地判斷系統的穩定性。
根軌跡圖呈現閉環傳遞函數的極點在複數s平面上的變化。
根軌跡不僅可用於判斷系統穩定性，還能幫助設計反饋系統的阻尼比（ζ）和自然頻率（ωn）。畫出固定阻尼比的直線，自原點輻射出來，以及從原點輻射出的固定自然頻率的弧線，能隨之選擇一個點來確定所需的系統增益K。透過此方式，設計者可接近所需的穩定性及動態性能，這在多種控制教科書中均有詳細論述。
根軌跡的定義是系統在變化特定參數值下，閉環極點在複數s平面上的圖形表示。
綜觀整個過程，根軌跡儀使控制工程師能夠透過圖形方式來鑑別和預測系統的行為。當設計的反饋系統具備明顯的主極點對，根軌跡方法尤為有效。而在現實應用中，許多系統可能並不完全符合這項假設，因此，完成設計後進行模擬驗證至關重要，以確保實際需求得到滿足。
根軌跡分析的原理
根軌跡分析的運作原理基於儀器的角度及幅度條件。若有一個反饋系統，其輸入信號為 X(s) ，輸出信號為 Y(s) ，則前向路徑傳遞函數可表示為 G(s) ，反饋路徑傳遞函數為 H(s)。閉環傳遞函數則為 T(s) = Y(s) / X(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s))。
這表示閉環極點相對於特徵方程的根為
1 + G(s)H(s) = 0。
當然，系統沒有純延遲時，G(s)H(s)的乘積可表示為有理多項式的形式。透過這樣的分析，結合向量技術來計算各個極點和零點的角度，使我們可以透視系統的行為及動態範疇。
根軌跡的繪製
繪製根軌跡時，首先需要標示出開環的極點和零點，並標出在所有極點和零點左側的實軸部分。進一步分析，當極點數量P減去零點數量Z時，會得到一條數量為 P-Z 的漸近線。這條漸近線會於實軸交於重心位置，向外的角度可由以下公式計算出來：
φ_l = 180° + (l - 1) * 360° / (P - Z)，α = Re(ΣP - ΣZ) / (P - Z)
此外，還需要進行測試點相位的確認，以找出出發角與進入點。這些過程全面展現了根軌跡法的強大與應用潛力，帶領我們更深入地探索系統的穩定性。
結語
根軌跡的繪製及分析讓控制系統工程師得以在複雜運算中提煉出關鍵信息，這不僅是理論的探討，也是實務中的必備技能。面對未來的技術挑戰，根軌跡分析是否能為我們揭開更深入的系統動態之謎呢？
