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電路大小與深度的奧秘：什麼是計算多項式的最佳方式？
在計算複雜性理論中，算術電路是計算多項式的標準模型。算術電路能夠從變數或數字中獲取輸入，並通過加法或乘法來計算先前計算出的表達式的結果。這種模型使得我們能夠形而上地了解計算多項式的複雜性。
電路的基本問題是“怎樣以最有效的方式計算給定的多項式？”
一個算術電路由導向無環圖所構成，圖中的每個入度為零的節點被稱為輸入閘，並標記為變數或者域中的元素。其他的閘則是加法閘或乘法閘。算術公式是一種電路，每個閘的出度均為一，形成一棵有向樹。電路有兩個重要的複雜性度量：大小和深度。電路的大小是指閘的數量，而深度則是指在電路中最長的有向路徑的長度。
算術電路在計算多項式方面有其自然的方法。輸入閘計算其標記的多項式；加法閘計算其子節點所計算出多項式的和，而乘法閘則計算其子節點所計算出的多項式的乘積。以圖為例，輸入閘依序計算 x1、x2 和 1，加法閘計算 x1 + x2 和 x2 + 1，乘法閘計算 (x1 + x2) x2 (x2 + 1) 的值。
概述
當我們面對一個多項式 f 時，問題在於如何以最好的方式來計算它——例如，計算單位電路的最小大小。這個問題通常由兩個部分組成。第一部分是找到一個計算該多項式的電路，稱之為上界複雜度；第二部分是證明其他電路不能達到更好的性能，稱之為下界複雜度。
儘管這兩個任務密切相關，但證明下界通常更具難度，因為需要對所有電路進行同時的討論。
在此，值得注意的是，我們關心的是多項式的正式計算，而非多項式所定義的函數。例如，考慮二元域的多項式 x2 + x，該多項式在此域上代表零函數，但它並不是零多項式。這是算術電路研究與布林電路研究之間的差異之一，也是一個原因使得布林複雜性更難於算術複雜性。
上界
在計算多項式複雜度的研究中，發現了一些聰明的電路或算法。例如，著名的 Strassen 矩陣乘法算法，使用的電路大小約為 n2.807，相較於簡單的 n3，大大降低了複雜度。另一個引人入勝的故事是有關 n × n 矩陣的行列式計算，雖然原始的計算方法需要的電路大小為 n!，但我們知道可以用多項式大小的電路來計算行列式，雖然該電路的深度是線性與 n。
與此同時，關於 n × n 矩陣的常數電路 (permanent)，為了計算其大小也存在類似的挑戰，最佳電路的大小約為 2n。
下界
在證明下界的方面，我們目前的知識非常有限。例如，計算很大度數的多項式通常需要大的電路；例如，度數為 2^2n 的多項式需要的電路大小約為 2n。主要的問題便在於對於小度數的多項式證明下界，尤其是多項式大小的 n。
當前的主要開放問題是，找到一個明確的多項式，使其被計算所需的電路大小超過多項式級別。
代數 P 與 NP
在計算複雜性理論中，最有趣的開放問題是 P 與 NP 問題。約略來說，這個問題在於確定一個問題的解是否能夠和證明解的存在一樣容易。Valiant 提出了 VP 與 VNP 問題的代數類比，這涉及到多項式大小與電路大小的關係。
深度簡化
對於我們了解多項式計算的一個重要基準是 Valiant、Skyum、Berkowitz 和 Rackoff 的研究。他們表明，如果一個度數為 r 的多項式擁有大小為 s 的電路，則該多項式也擁有大小為多項式 r 與 s 的電路。
這一結果在布林設定下的類似結果被認為是錯誤的。此結果的推論之一是，對有關多項式的電路的模擬，這是相對較小的公式；在這種情況下，一個度數為 r 的多項式擁有大小 s 的電路則需要的公式的大小為 s^(O(log(r)))。
總結
算術電路的設計、大小及深度等，都是計算多項式的關鍵要素，研究這些要素不僅是數學理論上的挑戰，還與實際應用緊密相連。在這些複雜的計算中，是否能夠找到更高效的方法來解決更大型的問題，將是未來研究的方向之一？
